一种新的分数阶混沌系统研究

摘 要:为了提高混沌信号的复杂性,提出一个新的分数阶混沌系统。介绍两种分数阶微积分的分析方法,时域求解法对其进行数值仿真;时频域转换法对其进行电路仿真。数值仿真结果表明,系统存在混沌的最低阶数是2.31。设计该系统的分数阶混沌振荡电路,电路仿真与数值仿真结果相符,证实了该分数阶混沌振荡电路的可行性。

关键词:分数阶;混沌;电路设计;电路仿真

中图分类号:TN401文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2009)10-122-03

Study on New Fractional Chaotic System

ZUO Jianzheng,WANG Guangyi

(Department of Electronics Information,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou,310018,China)

Abstract:In order to enhance complexity of chaotic systems,this paper proposes a new fractional chaotic system and introduces two analytical methods of fractional calculus.Numerical simulation adopts a method to solve fractional calculus in time domain,Circuit simulation adopts the method of conversion between time domain and frequency domain.The simulation results show that the minimum order of the system is 2.31 when the system exhibits chaotic behaviors.Then a fractional chaotic oscillating circuit for implementing the system is designed and simulated.Circuit simulation results show a good qualitative agreement between the circuit and numerical simulations.The feasibility of the signal generator is confirmed.

Keywords:fractional;chaos;circuit design;circuit simulation

0 引 言

分数阶微积分是研究任意阶微积分的理论,是普通整数阶微积分向非整数阶(任意阶)的推

广。几十年来,国内外学者研究发现,在电介质极化、电磁波、有色噪声等存在分数阶动力行为,从而使分数阶微积分理论应用到物理和工程领域而成为一个热点研究课题。最近,更多的研究开始广泛涉及分数阶混沌和超混沌、分数阶混沌控制与同步等领域[1-8]。从某种意义上说,分数阶混沌系统更能反映系统呈现的工程物理现象,从而促进分数阶混沌的研究与发展。

与整数阶混沌系统相比,一个确定的分数阶混沌系统随着其阶数即分数值的不同而呈现不同的状态(同一个分数阶系统出现混沌的分数阶往往有一个范围,而不是一个特定的分数值),因而这种系统具有更大的密钥空间,更不易被复制,在混沌保密通信中将会具有潜在的应用价值。因此,提出一个新的分数阶混沌系统,并应用两种分数阶微积分理论分析方法,分别对其进行数值仿真和电路仿真。两种仿真结果相符,证实了分数阶混沌系统的存在。分析与结论证明,分数阶混沌信号比整数阶混沌信号更有优势,更适合于应用到混沌通信以及信息加密中。

1 基本分析

在分数阶微积分的研究过程中,对微分和积分概念应用研究较多的是GL(Grunwald Letnikov)定义和RL(Riemann Liouville)定义。GL定义为:

dqf(t)dtq=limh0 h-q∑[t-a/h]j=0(-1)jqj〗f(t-jh)(1)

式中:a,t是运算限值。根据文献[7],式(1)可变换为式(2)形式:

dqf(tm )dtqm= h - q∑mj=0ω(q)jxm-j (2)

式中:ω(q)j=(-1)jqj〗,j=0,1,2,…;qj〗=q(q-1)…(q-j+1)j!;h为步长。

RL定义为:

dqf(t)dtq=1Γ(n-q)dndtn∫t0f(τ)(t-τ)q-n+1dτ(3)

式中:n为整数,且q > 0,n-1 ≤ q < n;Γ是Gamma函数。式(3)是分数阶微分和分数阶积分的统一表示,它显示分数阶微积分具有记忆功能,因此分数阶微积分更适合于电路系统特性的描述。

若时域函数f(t)的初始值为零,则式(3)的拉普拉斯变换表达式为:

L\=sqL\(4)

由此可用目前工程中常用的时域与复频域转换法求解分数阶微积分方程。通过求解复频域的传输函数1/sq得到复频域的展开形式,再将复频域形式转化为时域形式进行数值求解。文献[9]介绍了一种用波特图逼近法确定1/sq的展开式;文献[10]推导出q从0.1~0.9的1/sq展开;文献[6]通过这种方法设计了n=3,F(s)=1/sq时的单元电路如图1所示。

图1 单元电路

图1中Ra=62.84 ΜΩ,Rb=250 kΩ,Re=2.5 kΩ,Ca=1.232 μF,Cb=1.835 μF,Ce=1.1 μF。通过用单元电路代替整数阶电路中的电容,可构造出分数阶混沌振荡电路。

2 一个新的分数阶混沌系统

文献[11]提出一个三维二次混沌系统:

=n(y-x+yz)

=lx-xz+y

=xy-kz(5)

用分数阶形式描述如下:

dqx/dtq=n(y-x+yz)

dqy/dtq=lx-xz+y

dqz/dtq=xy-kz(6)

根据式(2)、式(5)可转化成如下形式:

xm=nhqym+nhqymzm-∑mj=1ω(q)jxm-j1+nhq

ym=lhqxm-hqxmzm-∑mj=1ω(q)jym-j1-hq

zm=hqxmym-∑mj=1ω(q)jzm-j1+khq(7)

式中:m=1,2,3,…。这样就可以只在时域里通过Matlab对此方程组进行数值仿真。仿真结果表明,当q=0.9-0.77,n=35,k=6,l=5,设步长h=0.01时,系统存在混沌吸引子,即系统存在混沌状态的最低阶数是2.31阶,q=0.9时,系统(6)或(7)的仿真吸引子如图2所示。

图2 q=0.9,n=35,k=6,l=5时混沌吸引子

3 电路设计与仿真

利用基本分析中时频域转换方法以及单元电路形式设计出一个模拟电路,实现了分数阶混沌系统(6),这对实际应用有重要的意义,其电路如图3所示。其中,运算放大器(LF347)用来进行电路的加减运算;模拟乘法器(AD633)用来实现系统中的非线性项。根据电路理论以及各个元件的特性,考虑到乘法器输出是两乘积相的1/10,可得电路方程为:

=R10yR9R2C-xR3C+R10yz10R9R1C

=R5xR4R6C-xz10R7C+R10yR9R8C

=R10xy10R9R11C-zR12C(8)

式中:C代表整个单元电路。为了能在示波器上正常显示混沌信号,进行坐标变换。设线性变换u = 10x,v = 10y,w = 10z,这将不影响系统的状态及特性,并把这种变化代入式(5),再令x = u,y = v,z = w,由此该混沌方程可变换为:

=n(y-x+10yz)

=lx-10xz+y

=10xy-kz(9)

比较式(8)与式(9)的同类项系数后得出:R1=0.1 kΩ,R2=R3=30 kΩ,R6=200 kΩ,R8=1 ΜΩ,R12=200 kΩ,R4=R5=R7=R9=R10=R11=10 kΩ。

利用EWB对图3所示的分数阶电路进行仿真,得到图4所示的分数阶混沌吸引子。图4与图2比较,可以看出电路仿真实验结果与数值仿真结果基本一致。

图3 分数阶混沌振荡电路

图4 EWB仿真得到的分数阶混沌吸引子

4 结 语

在此提出一个分数阶混沌系统,介绍了两种分数阶微积分分析方法,分别对提出的混沌系统进行数值与电路仿真。仿真结果表明,系统处于分数阶时确实存在混沌行为,而且存在混沌的最低阶数为2.31阶。由于分数阶微积分具有记忆功能,更适合电路系统特性描述和反映系统呈现的工程物理现象。与整数阶混沌系统相比,分数阶混沌系统具有更大的密钥空间,在各种基于混沌的信息加密和保密通信中将具有更好的潜在应用价值。EWB软件采用的是实际电路元件模型,本文的后续工作是物理实现该分数阶混沌系统。

参考文献

[1]Ge Z M,Hsu M Y.Chaos Excited Chaos Synchronizations of Integral and Fractional Order Generalized van der Pol System[J].Chaos,Solitons and Fractals,2008,36(3):592-604.

[2]Li C P,Deng W H,Xu D.Chaos Synchronization of the Chua System with a Fractional Order[J].Physica A,2006,360(2):171-185.

[3]Peng G J,Jiang Y L,Chen F.Generalized Projective Synchronization of Fractional Order Chaotic Systems[J].Physica A,2008,387(14):3 739-3 746.

[4]王发强,刘崇新.分数阶临界混沌系统及电路实验的研究[J].物理学报,2006,55(8):3 922-3 927.

[5]张成芬,高金峰,徐磊.分数阶Liu系统与分数阶统一系统中的混沌现象及二者的异结构同步[J].物理学报,2007,56(9):5 124-5 130.

[6]刘崇新.一个超混沌系统及其分数阶电路仿真实验[J].物理学报,2007,56(12):6 865-6 873.

[7]Zhou S B,Li H,Zhu Z Z.Chaos Control and Synchronization in a Fractional Neuron Network System[J].Chaos,Solitons and Fractals,2008,36(4):973-984.

[8]Li C G,Chen G R.Chaos in the Fractional-order Chen System and Its Control[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,22(3):549-554.

[9]Charef A,Sun H H,Tsao Y Y,et al.Fractal System as Represented by Singularity Function[J].IEEE Trans.on Automatic Control,1992,37(9):1 465-1 470.

[10]Ahmad W M,Sprott J C.Chaos in Fractional-order Autonomous Nonlinear System[J].Chaos,Soltions andFractals,2003,16(2):339-351.

[11]王光义,丘水生,许志益.一个新的三维二次混沌系统及其电路实现[J].物理学报,2006,55(7):3 295-3 301.