从一道数学联赛题谈数学思想的体现

摘 要： 本文采取数学归纳法、二项式分解法、代换法等方法对一道全国数学联赛试题进行证明，并对各种方法进行了必要的点评。其中使用到了均值不等式、倒序相加、柯西不等式及一些常见结论，希望能对中学数学的学习有一定的帮助。文章最后留有相关练习，供读者类比证明。

关键词： 数学归纳法 二项式定理 代换法 柯西不等式

1988年全国数学联赛题：已知a、b∈R，且+=1。试证：对每一个n∈N，（a+b）-a-b≥2-2。

通过分析，我们在借鉴已有证法的基础上有所创新，仅供读者参考。

证法一：数学归纳法

证明：由已知得a+b=ab，又a+b≥2，ab≥2，故a+b=ab≥4。

于是a+b≥2=2≥2。下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=（a+b）-a-b=0，右边=2-2=0，结论成立；

（2）设当n=k（k≥1，k∈N）时结论成立，即（a+b）-a-b≥2-2成立．

则（a+b）-a-b

=（a+b）（a+b）-（a+b）（a+b）+ab（a+b）

=（a+b）［（a+b）-（a+b）］+ab（a+b）

≥4（2-2）+4・2

=2-4・2+4・2=2-2

即命题对于n=k+1也成立，故对于一切n∈N均成立，命题得证。

点评：数学归纳法是中学数学证明高次不等式的一种重要的基本方法，本题也适用。在使用时，要注意使用归纳法的条件；同时，注意观察已知条件，进行适当的变形、合理的增减项数是本题的一些特色之处。

证法二：二项式分解法

证明：欲证（a+b）-a-b≥2-2，只需证×2［（a+b）-a-b］≥2-2.

由已知得a+b=ab，又a+b≥2，即≥2（a=b=2）时取等号。

原式左边由二项式定理展开

=×2（a+b+Cab+…+Cab-a-b）

=×2（Cab+…+Cab）

=［C（ab+ab）+…+C（ab+ab）］

≥［C・2（）+…+C・2（）］

当且仅当a=b=2时，等号成立。即

左边≥（）（C+…+C）

=（）（C+C+…+C+C-2）

=2（2-2）

=2-2=右边

则（a+b）-a-b≥2-2，命题得证。

点评：二项式定理是中学数学的基本定理之一，此题合理使用该定理将（a+b）展开可以得到一些想要的结果，再者利用了C=C，C+C+…+C+C=（1+1）=2等结论，隐含的应用了倒序相加法，避免了讨论m的奇偶性，同时对于均值不等式的充分利用，是此题得以证明的重要突破口。

证法三：代换法

先给出柯西不等式的基本形式：设对于任意的a，b∈R，均有不等式

ab≥（ab）成立。

证明：（分式代换法）

设=，=，其中α，β∈R，则a=1+，b=1+，从而

（a+b）-a-b=（ab）-a-b=（a-1）（b-1）-1

=［（1+）-1］［（1+）-1］-1

=［C（）+C（）+…+C（）］

［C（）+C（）+…+C（）］-1

（利用柯西不等式）原式左边

≥（C+C+…+C）-1

=（2-1）-1=2-2=右边

命题得证。

证明：（直接代换法）

由+=1得a+b=ab，（a-1）（b-1）=1而

（a+b）-a-b=（ab）-a-b=（a-1）（b-1）-1

=［（1+a-1）-1］［（1+b-1）-1］-1

=［（1+a-1）-1］［（1+）-1］-1

=［C（a-1）+C（a-1）+…+C（a-1）］

［C（）+C（）+…+C（）］-1

（利用柯西不等式）原式左边

≥（C+C+…+C）-1

=（2-1）-1

=2-2

=右边

命题得证。

点评：代换法也是中学数学常用的方法之一，本题巧妙采取两种代换进行证明。在证明的过程中，有超中学数学知识的地方在于利用了柯西不等式，虽然中学教材没有引入柯西不等式，但它在数学解题，尤其在中学数学竞赛上有着广泛的应用。值得提示的是需要注意柯西不等式取等号的条件。

练习：

1.已知a，b∈R，且+=1。试证：对每一个n∈N，・≥1。

2.求证：2+3能被11整除。

3.求证：＞（）（n∈N，n≥3）。

参考文献：

［1］刘久松.利用分式代换法证明一类不等式.中学数学，1995.10.

［2］陈亚萍.柯西不等式的证明与推广应用.黔南民族师范学院学报，1999.6.

［3］陈晓岚.构造二项式定理巧证（解）题.中学教学参考，2009.2.

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