基于综合模型的GPS高程拟合方案研究

摘 要：本文介绍了两种最常用高程拟合方法：多项式拟合法和多面函数拟合法。每一种高程拟合方法都有其优点和不足，在应用上都有其局限性。为此，本文提出综合模型，研究综合各种拟合方案的结果，兼容各种模型的优点。

关键词 ：GPS技术；高程拟合；综合模型

中图分类号: U469.6+92文献标识码：A

0引言

在传统测量工作中，高程与平面测量是分开进行的。由于GPS技术的发展，在比较广阔的变形区域，尤其是稳定点与监测点距离较远时，或地形起伏较大区域，GPS技术能多快好省地完成任务。但当两种数据放在一起处理时，高程基准不统一，GPS获得的是WGS84大地高，以WGS84椭球面为基准，而水准测量获得的是高差，以水准面为基准，我国采用的是正常高系统，其基准是似大地水准面。如图1所示。

图1H大 、H常 与ξ的关系图

Fig1 Relationship graph between H大 、H常 and ξ

一般可用下式来表示大地高、正常高和高程异常三者的关系：

ξ=H大—H常（1）

1高程拟合的方法介绍

1.1多项式拟合法[1]

（1）平面拟合

当测区范围较小且地势平坦时，可视大地水准面为平面，则拟合表达式为：

（2）

式中a、b、c为未知参数，此时要求公共点至少为三个。

（2）四参数多项式拟合

四参数多项式拟合（又称相关平面拟合）的曲面拟合表达式为：

（3）

式中a、b、c、ｄ为未知参数，此时要求公共点至少为四个。

（3）六参数多项式拟合

六参数多项式拟合的曲面拟合表达式为：

（4）

式中a、b、c、ｄ、ｅ、ｇ均为未知参数，此时要求公共点至少为六个。

以上三式中，是GPS监测点的坐标。 该坐标既可以是高斯平面直角坐标，也可以是大地坐标，实际上是高程异常。

1.2多面函数拟合法[2]

GPS似大地水准面的拟合，或高程异常的拟合，还可以采用多面函数拟合法。该方法的基本思想是：任何数学表面和任何不规则的圆滑表面，总可以用一系列有规则的数学表面的总和，以任意精度逼近。多面函数方程的一般形式为：

（5）

式中，aj是待定系数，Q（x，y，xj，yj）是x和y的二次核函数，其中心在（xj，yj）处，Z坐标可由二次式的和确定，故称多面函数。

在某一GPS网中，设有m个水准联测点，则可获得这些点的高程异常值ξ。这些高程异常可采用如下的多面函数来拟合：

（6）

式中n为结点数（j=1,2,…，n, n≤m），δ为圆滑因子，可选取为1，-1/2，1/2。

在利用式（6）来确定GPS点的正常高时，其基本过程是：首先利用n个结点（n≤m）上的高程异常值ξ及其坐标，按式（6）解算出待定参数aj；然后将某一点的坐标代入式（2-5），即可求出该点的高程异常值ξ；最后根据GPS测得的大地高H及计算得的高程异常值ξ，即可求得该点的正常高。

1.3综合模型

综合模型是基于综合预报理论（combing forecast theory）提出的，最早应用于地壳变形中[3]，其实质是采取权重，选择或综合上述模型的拟合结果，前提是认为各种拟合方法得到的拟合值是独立的、不相关的。综合模型是运筹学中的约束非线性规划理论的具体应用。综合模型可以如下表述：

，（7）

式中是综合模型计算得到的拟合值；是中方法的权向量，是拟合点的总数, 是单一模型得到的高程异常值,其必须满足下列限制：

（8）

式中 ,方程（8）可以简洁写成：

（9）

式中 ,。如果考虑各个模型是互相独立，应用最小二乘法：

（10）

（10）式可以更简洁地表述为：

Min（11）

综上所述，综合模型用数学语言表述为：

（12）

条件为：

式中，—残差阵，—单一方法模型的变形量阵，— 权阵，—理论真值阵。。 解得，即为所求。同时应用高斯误差传播定律，可得综合变形结果的标准差：

（13）

是标准方差阵，由来自单一方法中的标准差组成。

2 实例分析

本文中所使用的数据是某矿区第一期的观测成果，共28个点，已知它们的高斯坐标，其中还知道9个点的正常高，17个点未知。根据这9个点的高程，利用上述的方法，进行高程拟合，建立监测区的似大地水准面，进而获得17个待测点的正常高。

2.1多项式拟合法

本文中使用了公式（2）和（3）两种方法（称之为方案Ⅰ和方案Ⅱ），利用六个已知点来求参数，三个检查点，如表1、表2。

2.2多面函数拟合法

实践表明，在直接利用公式（5），一般来说效果不是很好。针对本问题文中采取了两步拟合方案，首先采用了平面拟合，得到残差，再利用公式（5），其中选取δ=0，β=1/2，来拟合残差（称之为方案Ⅲ）。为了便于与多项式方法比较，也利用了同样的求参数点和检查点，如表2。

表1 拟合中所用到的已知点的高程异常值 （单位：m）

chart 1 The abnormal elevation values of known points which are adopted in fitting (unit: m)

表2 各方案拟合结果（单位：m）

chart 2Fitting results of each scheme(unit: m)

2.3 综合模型方法

（1）综合方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

对于检查点来说知道它们的真值（已知值）和拟合值，利用公式（12），首先综合方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ所得到高程异常值，建立优化方程：

、

解这个约束优化方程得：。

（2）综合方案Ⅰ、Ⅲ

综合方案Ⅰ和方案Ⅲ所得到高程异常值，建立优化方程，解得：

（3）结果分析

综合方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 时，出现了，这说明方案Ⅱ明显的优于方案Ⅰ和方案Ⅲ，从三个方案计算的结果中也可以分析出来。方案Ⅰ中检查点（已知点编号为7）最大拟合值与真值之差达到8cm，说明这种方法在这里拟合的效果不好，而且其他两个点相差也比较大，这也能说明此问题；同样，方案Ⅲ较方案Ⅱ的拟合结果偏差也还是比较大，单从数据表面上分析也是方案Ⅱ明显的优于其他两个方案，结果与我们的预感是一致的，方案Ⅱ是三个方案中最好的。按常规分析，方案Ⅱ是应该得到较大的权，但不应该是1，其结果应该出现三个介于0-1之间的小数。仔细分析阵，发现第一列和第二列比真值的每一个数据都偏小，但方案Ⅱ与真值差值小，自然方案Ⅰ要被方案Ⅱ淘汰而取为0。最后的结果是从三种模型中，以最优化的理论为我们选择了方案Ⅱ。

综合方案Ⅰ和方案Ⅲ，我们得到，这一结果与我们所期望的结果是一致的，与常规的定权量值比较接近，从数据的分析结果看，这一权重也是合适的。最后的结果是以最优化的理论将方案Ⅰ和方案Ⅱ得到的结果进行了综合，提高了拟合精度，使最后的结果兼容了两种方案的优点。

2.4拟合结果

根据综合模型方法的分析、计算，既然综合方案Ⅰ和方案Ⅲ，兼容了两种方案的优点那么就选取此综合模型方案。为了提高精度，使用这九个已知点，利用最小二乘法得到结果为最终结果，如表3：

表3 某矿区内的高程拟合结果 （单位：m）

chart 3 Fitting results of a mine area(unit: m)

3 结束语

利用综合模型算得到的拟合点的精度在1cm～1.5cm，这与目前文献上所谈到的诸如本次监测区域范围内，其拟合精度能达到2cm左右相一致，能满足本次矿区沉降监测的需要。由此可见，综合模型对于局部地区解决GPS高程转化为正常高是有使用价值的。但综合模型方法仅是一种基于数学处理的方法，其物理解释合理性不够明确。对精密变形来说精度还有所欠缺，在具体使用中可以考虑分区，各区采用相对独立的精密水准，以便满足精密变形监测的需要。

Researches about GPS Elevation Fitting Schemes

Based on the Combined Model

SUN Chuan-shan 1，Li Ren-hai 1，DAI Xu-ping2

（ 1. Institute of Surveying & Reconnaissance ofYancheng ,Yancheng 224000, Jiangsu , China；2. Real estate surveying and Mapping Center, Yandu District , Yancheng 224000, China.）

Abstract： This paper introduces two kinds ofthe most popular elevation fitting methods： polynomial fitting and multi-quadric equation fitting. But every elevation fitting method has its disadvantages and has its localization in applications. Therefore, this paper proposes the combined model, studying integrates various results of fitting schemes so as to be compatible with the advantages of fitting models which are adopted.

Key words:GPS technology; Elevation fitting; the combined model

参考文献References

[1] 高井祥等，《卫星测地技术用于矿山变形监测理论与应用研究》，研究报告，中国矿业大学，2002.

[2] M.Yanalak and O.Baykal，Transformation of Ellipsoid Heights to Local Leveling Heights，Journal of Surverying Enginerring，August 2001,90～104.

[3] Q.W.Liu、Y.Q.Chen，Combining the Geodetic Models of Vertical Crustal Deformation ，Journal of Geodesy，（1998）72:673-683.

[4] 施 昆，GPS网中网点正常高的一种求解方法，昆明工学院学报，Vol.19(1)，1994，8～12.

通讯作者：

孙传山（出生年月-1970.7.13），男，盐城市榆河路14－2号，助理工程师，盐城市勘察测绘院