导数问题中分类讨论的实例分析

导数、函数、不等式综合问题已是高考试题中的必选项之一，而分类讨论往往是导数问题考查的一个核心。仔细分析发现，在什么地方分类讨论、依据什么标准分类讨论是有规律的。下面对常见的分类讨论的情形举例说明。

一、导数零点的存在性

导数的零点首先是方程根的问题，在含有参数时往往需要分类讨论，分类标准一般涉及到方程的定性、根的存在性，即确定方程是一元一次、一元二次方程或其他方程，然后是方程的根（导数的零点）是否存在，如一元二次方程条件下的判别式的符号的讨论。

例1． 已知函数f(x)=x-2x+a(2-lnx)(a＞0)，讨论f(x)的单调性。

解：f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2〖SX）〗设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8。（1）当Δ=a2-8＜0，即0＜a＜2〖KG-*4〗〖KF(〗2〖KF)〗时，对一切x＞0都有f'(x)＞0,此时f(x)在(0,+∞)上是增函数.（2）当Δ=a2-8=0,即a=2〖KF(〗2〖KF)〗时，仅对x=〖KF(〗2〖KF)〗有f′(x)=0,对其余的x＞0都有f′(x)＞0,此时f(x)在(0,+∞)上也是增函数.（3）当Δ=a2-8＞0，即a＞2〖KF(〗2〖KF)〗时，方程g(x)=0有两个不同的实根x1=a-〖KF(〗a2-8〖KF)〗2,x2=a+〖KF(〗a2-8〖KF)〗2,0＜x1＜x2.〖HT6〗

〖BG(!〗〖BHDFG2,FK4,K5,K3,K5,K3,K5〗x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)

〖BHD〗f′(x)+0-0+

〖BHD〗f(x)单调递增极大单调递减极小单调递增〖BG）F〗

此时f(x)在(0,a-〖KF(〗a2-8〖KF)〗2)上单调递增, 在

(a-〖KF(〗a2-8〖KF)〗2,a+〖KF(〗a2-8〖KF)〗2)是上单调递减，在a+〖KF(〗a2-8〖KF)〗2,+∞)上单调递增。

这里的分类讨论就是根的存在性，利用判别式即可，根的大小是确定的。

二、零点的大小

当含有两个或两个以上的根时，要确定零点划分定义域的情形，进而确定单调区间，就要比较方程根的大小。

例2．已知函数f(x)=2x-b(x-1)2，求导函数f′(x)，并确定f(x)的单调区间．

解：f′(x)=2(x-1)2-(2x-b)•2(x-1)(x-1)4〖SX）〗=〖SX（〗-2x+2b-2(x-1)3=-2［x-(b-1)］(x-1)3．令f′(x)=0，得x=b-1．当b-1＜1，即b＜2时，f′(x)的变化情况如下表：〖HT6〗

〖BG(!〗〖BHDFG2，FK3，K6，K3，K6，K6F〗x（-∞，b-1）b-1(b-1,1)(1,+∞)

〖BHD〗f′(x)-0+-〖BG)F〗

当b-1＞1，即b＞2时，的变化情况如下表：〖HT6〗

〖BG(!〗〖BHDFG2，FK3，K6，K5，K6，K6F〗x（-∞，1）(1,b-1)b-1(b-1,+∞)

〖BHD〗f′(x)-0+-〖BG)F〗

所以，当b＜2时，函数f(x)在(-∞,b-1)上单调递减，在(b-1,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。当b＞2时，函数f(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,b-1)上单调递增，在(b-1,+∞)上单调递减。当b-1=1，即b=2时，f(x)=2x-1，所以函数f(x)在（-∞,1）上单调递减，在(1,+∞)上单调递减。

这里的分类讨论是确定零点的大小，然后划分函数的定义域为单调区间。〖FL）〗

三、导数的零点与指定（限定）区间的关系

在求出导数的零点以后，如在指定的区间内求极值（最值），求出的零点不一定就是其极值（最值）点，要对零点与指定区间的关系加以讨论之后才能确定。

例3．已知a是实数，函数f(x)=〖KF(〗x〖KF)〗(x-a).（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）设g(a)为f(x)在区间［0,2］上的最小值；写出g(a)的表达式.

解：（Ⅰ）函数的定义域为［0,+∞)，f′(x)=〖KF(〗x〖KF)〗+x-a2〖KF(〗x〖KF)〗=3x-a2〖KF(〗x〖KF）〗（x＞0）．若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)有单调递增区间［0,+∞)．若a＞0，令f'(x)=0，得x=a3，

当0＜x＜a3〖SX）〗时，f′(x)＜0，当x＞a3时，f′(x)＞0．f(x)有单调递减区间［0,a3〖SX）〗］，单调递增区间（〖SX（〗a3,+∞）。

（Ⅱ）解：若a≤0，f(x)在［0,2］上单调递增，所以g(a)=f(0)=0。

若0＜a＜6，f(x)在［0,a3］上单调递减，在(a3,2］上单调递增，所以g(a)=f(a3)=-2a3〖KF(〗a3〖KF)〗．若a≥6，f(x)在［0,2］上单调递减，所以g(a)=f(2)=〖KF(〗2〖KF)〗(2-a)．

综上所述， g(a)=〖JB({〗0,a≤0,

-2a3〖KF(〗a3〖KF)〗,0＜a＜6,

〖KF(〗2〖KF)〗(2-a),a≥6〖JB)〗

本例（Ⅱ）中，若a≤0，f(x)在［0,2］上的单调性是确定的，而0＜a时，x=a3与指定区间［0，2］的关系是不确定的，需要进行讨论.

四、确定最（极）值

在单调区间上求最值很简单，而如果在一个非单调的区间上的最值就需要比较端点函数值的大小。

例4．已知a是实数，函数f(x)=x2(x-a)，求f(x)在区间［0，2］上的最大值。

解：f′(x)=3x2-2ax，令f′(x)=0，解得x1=0,x2=2a3。当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在［0，2］上单调递增，从而f max =f(2)=8-4a。

当2a3≥2时，即a≥3时，f(x)在［0，2］上单调递减，从而f max =f(0)=0。

当0＜2a3＜，即0＜a＜3，f(x)在［0,2a3］上单调递减，在［2a3,2］上单调递增，从而

f max =〖JB({〗8-4a,0＜a≤2,0,2＜a＜3〖JB)〗，

综上所述，

f max =〖JB({〗8-4a,a≤2

0,a＞2〖JB)〗

本例中当0＜a＜3时，f(x)在［0,2a3］上单调递减，在［2a3,2］上单调递增，最大值f max =max{f(0),f(2)}=max(0,8-4a)，所以还要在（0，3）上对a是否大于2加以讨论。