试谈条件概率教学

摘 要：在传统的教学中，条件概率P（A|B）的概念、计算多以整体的面貌呈现，其结果是学生感到概念抽象，遇到实际问题不知所措。对条件概率内涵中诸要素进行了分层、细化，对于计算则从古典概型入手，还归条件概率的本源，给出直接计算法，尔后再过渡到一般的计算公式，并结合实例加以有计划、分步骤地灌输，变抽象为具体，使教学活动有了抓手，便于学生理解和掌握。

关键词：条件概率；要素；特征；正例；反例

条件概率是概率论的最重要的概念之一。然而执教过这部分内容的教师，都有这样的感受：“条件概率”这一概念比较抽象，学生理解比较困难，遇到实际问题一做就错。如何突破这一难点？下面结合笔者的教学实践，谈谈对条件概率教学的一些建议。

一、结合条件概率的正例，让学生充分领略概念内涵中各要素的不同特征，形成关于条件概率的初步认识

条件概率的定义：设A和B为同一概率空间的两个随机事件，则在已知B发生的条件下，事件A发生的概率称为已知B发生的条件下A发生的条件概率，简称为A关于B的条件概率，记作P（A|B）。

条件概率P（A|B）这一概念的内涵包含三个要素：一个是事件A，另一个是事件B，还有一个是条件关系，三者不可或缺。事件A的特征，在于它的随机性。事件B的特征，在于它的确定性，B是已经发生的事件，不再是随机事件。而条件关系的特征，在于其表达方式的灵活多样性，在许多场合它是由一个显明的条件结构表示的，如“已知……的条件下，求……的概率”等，而在另一些场合中，它却不是用显明的条件结构表示的。

对于条件概率内涵各个要素的相应特征，教师应结合实例有计划、分步骤地进行渗透，正所谓“随风潜入夜，润物细无声”，这样比较容易为学生所接受。

例1.随机抛掷一颗质地均匀的骰子，试解答下列问题：

（1）求掷出的点数不超过3的概率；（2）已知掷出了偶数点，求掷出的点数不超过3的概率。

在例1（2）的条件概率P（A|B）中，A是随机事件；B是已经发生的事件，在这里有很明显的标志：“已知掷出了偶数点”；而条件关系具有一种显明的条件结构：“已知……发生，求……的概率”。在这三个要素中，事件B是关键的核心的要素，其本质特征是“已经发生”，这一点应当充分强调，务必使大家都能够认识到。另外，符号A|B表示在B发生的条件下事件A也发生这一随机事件，n（A|B）表示事件A|B中的样本点数。

例2.某一天甲、乙、丙三人得到一张电影票，他们商定按甲乙丙的顺序抽签确定这张电影票的得主。

（1）已知乙抽到了电影票，求甲抽到电影票的概率；

（2）已知丙没有抽到电影票，求甲抽到电影票的概率。

例2（1）的条件关系具有显明的条件结构：“已知……，求……的概率”。在这种显明的条件关系中，其条件事件可以是形式上的条件。在例2（1）中，由于事件B是在事件A之后发生的，故事件B发生与否不可能在真正意义上影响事件A的发生，故B与A的条件关系只是形式上的条件关系。值得指出，这种条件概率有实际用处，如公安破案中。在例2（2）中，■与A的条件关系也是如此。我们注意到，在例２（1）和（2）中算得的甲抽到电影票的概率是不同的。这是为什么呢？这完全是由于观察者得到的信息不同所致。

紧接着，我们应当引入条件概率的计算公式：如果P（A）＞0，则P（A|B）=■。

证明：对于条件概率的一般情形做出证明并不容易，这里只对古典概型的情形给出证明。设试验E的样本空间是Ω。在已知事件B发生的条件下，B成为新的样本空间，且B的样本点具有等可能性。我们借助韦恩图可以看出：n（A|B）=n（AB）。于是由古典概型的概率公式有P（A|B）=■=■=■=■。

这样就得到了计算条件概率的第二计算方法：公式法。实现了由条件概率向无条件概率的第二次过渡。

二、结合条件概率的反例，对概念的要素再作具体界定，即所谓概念内涵的“深加工”，使学生更准确地把握概念的细节，加深对条件概率的认识

例1.甲、乙两人共同加工100个零件，甲加工60个，正品55个，乙加工40个，正品30个，从中任取1件。求：（1）取到的是正品的概率；（2）取到的是甲生产的正品的概率。

即事件“取到的是甲生产的正品”发生，当且仅当事件“取到的是甲生产的产品”和“取到的是正品”都发生，故任取１件产品，取到的是甲生产的正品的概率为P（AB）=■=0.55。

例2.在一个盒子中有大小一样的20个球，其中有10个红球、10个白球。某人无放回地依次从中摸出2个球，求第1次摸出红球后，第2次摸出白球的概率。

即事件“第1次摸出红球后，第2次摸出白球”发生，当且仅当事件“第一次摸出红球”和“第二次摸出白球”都发生，故其概率为P（A|B）=P（A）P（B|A）=■×■=■=0.2632。

三、通过条件概率的变式练习和对“疑似条件概率”的纠错练习，巩固对条件概率的认识

引入条件概率的目的有两个：一是对已知信息的充分利用，这就需要我们正确地计算条件概率；二是以现有的条件概率为基础计算更加复杂的概率。为了巩固对条件概率的这些认识成果，应适当做一些相应的变式练习，但也应控制好难度。在教学中，应先让学生自己解答，再针对学生出现的错误进行剖析，以提高学生的辨析能力。

四、通过对概念本质特征的再挖掘，进一步提高对条件概率的认识水平

值得指出：在条件概率P（A|B）的定义中，还得规定P（B）＞0。这表面上看起来是条件概率P（A|B）的计算公式P（A|B）=■的要求。其实，还有更深层次的原因。这样我们得到了两个相互矛盾的结果：“A与B独立”和“A与B不独立”。为了规避这种矛盾，必须在条件概率P（A|B）的定义中限定P（B）＞0。关于这一点，教师在备课时应当明白，但在教学时则应视学生的实际情况因人制宜，把握好分寸。

在条件概率P（A|B）内涵的诸要素中，事件B是核心要素。“已经发生”，是事件B的本质特征。事件B的这一本质特征，正是我们开启条件概率神秘大门的金钥匙。教学时，我们必须牢牢把

握它。

参考文献：

［1］金天寿.对事件独立性的再认识［J］.数学通报，2012.

［2］杨义群.初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨［J］.教学与研究，1984.

［3］杨志文.一道例题教学的困惑谈条件概率教学［J］.中学数学教学参考，2009.

（作者单位 浙江广厦建设职业技术学院　信息与控制工程学院）