导数综合问题归类

摘 要：导数是高中数学主要内容之一，在高考中占有很大比重，在解答题中导数总是做为压轴题出现，所以导数问题也是高考的难题。导数问题主要涉及求函数的单调性、函数的极值和最值、曲线的切线等导数的简单应用，还包括恒成立中求参数问题、方程根及函数零点问题、不等式证明问题等综合问题，本文主要从后面几个问题进行分析和研究。

关键词：导数 单调性 构建函数

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（c）-0093-01

1 关于恒成立中求参数问题

例1：（2012吉林质检）已知函数，其中为常数。

（1）若对任意有≥0成立，求的取值范围；

解析：（1），令，得。故当时，，单调递减；当时，，单调递增。所以当时，为最小值。令≥0，得≤1，所以的取值范围为≤1。

温馨提示：对于恒成立求参数范围问题，最后都转化为求函数的最值问题，因此，利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法。

注：本题还有第二问请看下面二方程根及函数零点问题。

2 方程根及函数零点问题

例2：（2012吉林质检）已知函数，其中为常数。

（2）当时，判断在上零点的个数，并说明理由。

解析：（2）由（1）知在上至多有两个零点，当时，，因为，所以在上有唯一零点。又，令，当时，，单调递增，所以，即。故，所以在上有唯一零点。因此在上有两个零点。

温馨提示：对于方程根和函数零点问题，要从函数的极值和端点符号及单调性考虑，再根据零点存在性定理，来判断函数图象与轴交点个数。

3 不等式证明问题

3.1 一元不等式证明问题

例3：已知函数证明：当，且时，。

解析：因为，

令，则，所以当时，，所以在和上为减函数。因为，所以当且时，恒有即。

温馨提示：对于这类一元不等式证明问题，常根据题目的特征，恰当构建函数，利用导数研究函数的单调性，转化为求函数的最值、极值问题，解题时要注意转化的等价性。

3.2 两元不等式证明问题

例4：证明：。

解析：要证，只需证。即证。设再根据导数证明在上为单调增函数，又，所以，证得。

温馨提示：这类非明显一元函数式的不等式证明问题，本题的解决是构建了一个一元函数，根据一元函数的单调性转化为求最值问题，本题最后转化为例3类型的问题。

小结：（1）在解决导数综合问题解答题的后一问时，要注意是否能用到前一问的解题结果。

（2）对于含两元的不等式证明问题，一般都要构建为一元函数去证明，但对于例3构建后的证明又不同，例3是通过一元函数的单调性，转化为求函数的最值问题。

总结：导数在高中数学及高考中有着极其重要的地位，对于导数综合问题无论是恒成立中求参数问题，方程根及零点问题，还是不等式证明问题，往往都有一定难度，在解题过程中一般都是通过导数研究函数的单调性或最值来解决问题。

参考文献

[1] 林鹏程.高考导数常见问题归纳[J].教学实践，2011（3）：28-29.

[2] 张海峰，黄寒凝.导数综合应用分析[J].中学课程辅导：教学研究，2011（9）：33-34.