在教学中渗透数学思想方法

【摘 要】 小学数学思想方法就是对小学数学知识有本质的认识，从方法论的角度来研究掌握小学数学中分析问题、思考问题的方法。本文从教学实践的层面简要分析了小学数学思想方法的应用。

【关键词】 渗透 数学 思想方法

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。在界定和刻画适用于义务教育阶段尤其是小学阶段学生所能领悟与掌握的数学思想方法方面，广大教师观点不尽相同。古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。但是由于小学生的年 龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的。因此，我们应该有选择地渗透一些数学思想方法。

小学数学内容比较简单，知识最为基础，隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。在小学数学教学中，所采用的思想方法有很多，例如对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、转化思想方法、数形结合思想方法等等。下面就以自己的教学实践为例谈谈在实际教学中如何渗透这些数学思想方法。

1 比较与分类的方法的应用

比较是用以确定研究对象和现象的共同点和不同点的方法。有比较才有鉴别，它是人们思维的基础。分类是整理加工科学事实的基本方法。比较与分类贯穿于整个小学数学教学的全过程之中。对数学对象的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。分类常常是通过比较得到的。比较和分类方法是小学数学教学中经常用到的最基本的思维方法。比如学生开始学习数学，他就会比较长短，比较大小，进而学会比较多少。然后就会把同样大小的放在一起， 相同形状的归为一类。数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。

例1：在教学“三角形的分类”时，①从生活实际引出分类的话题。你们在家中整理房间吗？②给物品分类也是一门学问，你们能不能给我们学习的三角形也分一分类呢？③出示不同类型的三角形；④小组合作学习，分组讨论三角形分类情况。（强调分类就得找一个分类的标准）；⑤组织学生汇报情况：你们是从什么角度分类的？怎么分？可能情况：a、按角的特征进行分类；b、按边的特征进行分类。先归纳，再分别根据角的特征去定义：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。⑥教师在肯定的情况下，同时板书集合图进行分类。

例2：在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的AB两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少分钟后两人相距5千米？这个由于题目没有告诉我们两个人的运动的方向，这时两个人的运动方向就有4种情况：两地相向而行、两地相背而行、同地点相背而行、同地点同方向前进（追及问题）。

不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。分类还能帮我们理清错综复杂的问题，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

2 化归思想的应用

小学数学解题中，遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，可让学生利用知识间的联系寻找快捷途径，也就是通过转化，使生疏的问题熟悉化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，从而顺利解决问题。

例如：修一段公路，已修的米数是未修的1/3，如果再修10米，这样已修的米数是未修的2/5，问这段公路有多少米？在解答这个题目时，若从已知条件出发不易解决问题，因为题中1/3和2/5这两个分率的标准量不统一，解答起来比较复杂。这样，我们可设法转换这两个已知条件，把他们转换为标准量相同的分率，即把“已修的米数是未修的1/3”转化成“已修的是全长的1/3÷（1+1/3）=1/4”，同理，把“已修的米数是未修的2/5”转化成“已修的是全长的2/5÷（1+2/5）=2/7”，这时“1/4”和“2/7”这两个分率的标准量（全长米数）就相同了，这样10米所对应的分率由未知转化为已知了：（2/7-1/4），从而问题得以解决：10÷（2/7-1/4）=280（米）。

把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类己便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展，让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大的帮助，现行小学数学教材内容，许多知识都可以用化归思想方法思考。

首先，四则运算的“巧用定律”。有不少四则运算题，虽然可以根据常规运算顺序逐步算出正确结果，但是住往因为数据庞杂，计算十分繁琐。如果能利用恒等变换，使题目的结构适合某种“模式”，运用已学过的定律、性质进行？解答，便能一蹴而就，易如反掌。例如：计算1.25×32×25 将32分解成8×4，再利用乘法交换律、结合律计算就显得非常方便。显然上述的问题解决过程中，学生体会到数学化归思想在解题中的重要作用，激发学生的求知兴趣，从而加强了对数学思想的认识。

其次，几何知识的“变换图形”。教学中运用转化思想，将原图形通过割补、分割、平移、翻折等途径加以“变形”，把未知的面积计算问题转化成已知图形的面积计算问题，可使题目变难为易，求解也水到渠成。小学课本中，除了长方形的面积计算公式之外，其他平面图形的面积计算公式都是通过变换原来的图形而得到的。例如，平行四边形通过割补、平移转化成长方形，三角形和梯形也都可以转化成平行四边形来求出面积。圆也可以通过分割转化成长方形。利用这些图形变换，从而概括出结论。再如，如：要求一个不规则小石头的体积，学生用转化思想的方法把小石头放在有水的规则容器里，利用水位升高的办法，计算出不规则小石头的体积。这样就体现了用转换的方法，从而达到创新的目的。

这里的归纳，不仅使每个学生明确了不同图形面积计算的相应方法，而且领悟到了还有比计算公式更重要的东西。那就是：把新知转化为旧知，再利用旧知解决新知的化归思想方法。

同时，转化的思想方法在其它小学应用题目中的解答也派上了重要的用场，可见，转化的思想方法在小学教学实践中应用有一个基本的原则，就是将复杂的转化为简单的。将陌生的转化为熟悉的，将未知的转化为已知的。

3 归纳与演绎的方法应用

这是经常运用的两种推理方法。归纳推理是由个别的或特殊的知识类推到一般的规律性知识。小学数学中的运算定律、性质及法则，很多是用归纳推理概括出来的。如加法的交换律是通过枚举 整数中的几个“两个加数交换位置相加和不变”的例子推导概括出来的。

演绎推理是由一般推到特殊的思维方法。例如一年级学生“算加法想减法”，实际上是以加减互逆关系作 为大前提，从而推算出减法式题的计算结果。又如，由“0不能做除数”为大前提，根据分数、 比与除法的关 系，推理出分母和比的后项不能为0。事实上，人们认识事物一般都经历两个过程：一个是由特殊到一般，一个是由一般到特殊。因此，归纳与演绎法是人们认识事物的重要方法。

推理思想作为数学的一个重要的思想方法，在小学教学的探究学习和再创造学习中应用更为广泛。如推导出平行四边形的面积公式后，三角形面积公式的推导过程是先把两个同样的三角形拼成一个平行四边形，再根据平行四边形的面积公式推出三角形的面积公式。这个过程实际上是应用了演绎推理，如下：平行四边形的面积等于底乘高，两个同样的三角形的面积等于平行四边形的面积，所以两个同样的三角形的面积等于底乘高；因而一个三角形的面积就等于底乘高的积除以2。

4 极限思想在教学过程中应用

极限思想是从量变到质变的转化思想，是事物转化过程中的重要环节，是数学分析中最基本的概念之一，它表示某个无限变化过程终极状态。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，初步体会“极限”思想。在循环小数这一部分内容，在教学2÷3=0.666……是循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。再如， “圆的面积”教学， 设计是这样的：①能不能用数方格的方法推导圆面积计算？（回忆长方形面积公式推导）；②能不能用几个相同圆拼成我们已学图形？（三角形、梯形面积公式推导）；③能不能把圆剪拼割补成我们已学图形？（平行四边形、三角形、梯形面积公式推导）。前两个问题学生异口同声：不能！而第三个问题一提出，学生有的说行，有的说不能，教师就与学生做了一个小实验： 折纸剪纸——利用化直为圆（与推导方法逆向），使学生看到直能变圆，同时渗透极限思想，接着问学生：圆能不能剪拼成我们学过的图形？学生都点头说：“能。”那么如何分比较好？为什么？一学生答：“平均分成16 份。”（这位同学已预习过）另一学生回答：“平均分得越多越好， 越多拼成的图形越像我们已学过图形。”教师请四人小组为单位，一人平均分4 份，一人平均分8 份，两人合作平均分16 份， 然后拼成已学图形。通过这样的过程，学生有的拼成近似长方形，有的拼成近似三角形、近似梯形等。然后让学生闭上眼睛想，如果分的份数越来越多， 这条线将怎么样？这个图形将怎么样？再多呢？再多呢？无限多呢？这样的教学虽然练习做得很少，但学生对极限思想、化归思想领悟较深。因为“不管学生将来从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学观念、思维方法、研究方法以及使用数学的意识等能随时随地发生作用，使他们终身受用”。这部分内容应让学生体会到这是一种用“无限逼近”的方法来求得圆面积的。

综上所述，我们看到运用数学思想方法研究事物，有助于人们认识事物的本质和事物发展的规律。然而，人们要把握事物的本质和规律，必须要经历一个抽象概括的过程，而抽象概括的过程既要运用分析、综合、比较、归纳，也要运用概念、判断和推理进行。在实际的学习和工作中，这些方法通常是在结合使用、交替使用和综合运用中发挥作用。因此，上述逻辑思维的方法是小学生学习数学经常用到的一般方法，也是在小学数学教学中必须让学生学习和掌握的基本方法。我们要根据各年级的教学内容，认真研究哪些逻辑思维方法对学习某个内容所起的作用，这样才能在教学中有意识地培养学生初步的逻辑思维能力。