与一次函数有关的竞赛题归类解析

一、求一次函数解析式

例1（第23届“希望杯”初二第1试）在平面直角坐标系中，先将直线

y=3x-2

关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经过两次变换后，所得直线的表达式是（）

（A） y=2x-3（B） y=3x-2

（C） y=2x+3（D） y=3x+2

解：直线y=3x-2关于轴做轴对称变换，得

-y=3x-2；

直线-y=3x-2关于y轴做轴对称变换，得

-y=-3x-2.化简后得y=3x+2.

故选（D）.

二、求取值范围

例2（2012年河南赛区）已知一次函数

y=（m+1）x+（m-1）

的图像经过一、二、三象限，则下列判断正确的是（）

（A） m>-1（B） m

（C） m>1（D） m

解：

一次函数y=（m+1）x+（m-1）的图像经过一、二、三象限，说明其图像与y轴的交点位于

y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以

m-1>0

m+1>0

，解得

m>1

，故选（C）.

三、求点的坐标

例3（2011年四川省初二）在平面直角坐标系中，

A（2，0），B（3，0），P是直线

上的点，当

PA+PB最小时，试求P的坐标.

解：作点A关于直线y=x的对称点A2，则

PA=PA1，故

PA+PB=PA1+PB.只有当

A1、P、B三点共线时，

PA+PB最.又由A与A1关于直线y=x对称知

A1（0，2），

由A1、B两点坐标得直线

A1B的方程为

x3+y2=1，联立

x3+y2

=1

y=x，

解得

x=65

y=65

，

故当PA+PB最小时，点P的坐标是

（65

，65）.

四、求整点的个数

例4 （2012年衢州市）某个一次函数的图象与直线

y=12x+3平行

与x轴、y轴的交点分别为

A、B，并且过点

（-2，-4）则在线段AB上（包括点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

解：依题意设一次函数解析式为

y=12x+b

由点（-2，-4）在该函数图象上，得

-4=12×（-2）+b

，则b=-3所以y=12x-3可得点

A（6，0）、B（0，-3）.

由0≤x≤6且

x为整数，取x=0，2，4，6时，对应的y值是整数，因此，在线段

AB上（包括点A、B），横、纵坐标都是整数的点有4个，故选（B）.

五、求函数图像与坐标轴围成的三角形面积

例5（2012年衢州市）已知一次函数

y=1-kxk+1（k是不为0的自然数，且是常数）

的图像与两坐标轴所围成的图形面积为Sk（即k=1时得

S1，k=2时得

S2

，…）试求S1+S2+S3+…S2012的值.

解：一次函数

y=1-kxk+1

的图象与两坐标轴的交点分别是

（1k，0）、（0，1k+1）

则

Sk=

12·1k

·1k+1

=12

（1k

-1k+1），

所以原式

=12

（1-12）+12（12-13）+12（13

-14）+…+

12（

12012

-12013）

=

12

（1-12013）=

20062013.

六、新定义函数

例6（2009年“城市杯”八年级）设关于

x的一次函数y=a1x+b1与

y=a2x+b2，则称

y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）

为此两个函数的生成函数.

（1）当x=1时，求y=x+1与y=2x的生成函数的值；

（2）若函数y=a1x+b1与

y=a2x+b2的图像的交点为

P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图像上，并说明理由.

解：（1）当x=1时，

y=m（x+1）+n（2x）=m（1+1）+n（2×1）=2m+2n=2（m+n），

因为m+n=1所以y=2.

（2）点

P在此两个函数的生成函数的图像上.

设点P的坐标为（a，b），因为a1×a+b1=b，

a2×a+b2=b，

所以m（a1×a+b1）+n（a2×a+b2）=

mb+nb=（m+n）b=b，

即点P在此两个函数的生成函数的图像上.

七、求参数的值

例7（第23届“希望杯”初二第1试）一次函数

y=（m2-4）x+（1-m）和

y=（m+2）x+（m2-3）

的图像分别与交于点P和Q，这两点关于

x

轴对称，则m的值是（）

（A） 2（B） 2或-1（C） 1或-1（D） -1

解：由题意得

P（0，1-m）、Q（0，m2-3）.

由P、Q关于x轴对称，

所以1-m+m2-3=0，即m2-m-2=0，解得

m=2或-1.当m=2时，m2-4=0，第一个函数为y=-1，

不是一次函数，不合题意，舍去.所以m=-1.故选（D）.

八、应用题

例8（2005年辽宁省八年级）学校计划购置一批电脑，现有甲、乙两家商场报价每台均为a元，甲商场的优惠条件是购买10台以上，则从11台开始按报价的70%出售；乙商场的优惠条件是每台按报价的85%出售.如果两家商场的电脑品牌、质量及售后服务完全相同，你选择哪家商场购货？

解：设学校计划购买电脑x台，

（1）如果0

（2）如果x>10，依题意，得

在甲商场购货付款y1=[10+（x-10）×70%]

a（元），

在乙商场购货付款 y2=x×85%×a（元）.

y1-y2=a（3-320x），

由于 a>0，

①即3-320x=0，即

x=20时，y1=y2

，

两家商场任选一家购货即可；

②3-320x

x>20时，y1

③3-320x>0，即

xy2，宜在乙商场购货.