探解以二次函数为载体的点的存在性问题

近年来各地试卷频频出现以二次函数为载体的点的存在性问题，是考察学生分析问题和解决问题能力的探究性题型.解决这类问题时往往要借助数学的分类思想，通过周密的思考和有条理的安排来逐一的解决问题.本文就这类问题进行归类探究，供大家参考.

一、等腰三角形中点的存在性问题

例1如图1，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交

x轴于另一点C（3，0）.

（1）求抛物线的解析式；

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

解析：等腰三角形中何边为腰未确定时，可分下面三种情况.

由题意易知抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.设Q点坐标为（1，m），则

AQ=4+m2，

BQ=1+（3-m）2

，又

AB=10.

①当AB=AQ时，

4+m2=10

，解得：

m=±6，

所以Q点坐标为（1，

6）或（1，-6）.

②当AB=BQ时，10=

1+（3-m）2，解得：

m1=0，m2=6.

所以Q点坐标为（1，0）或（1，6）.

③当AQ=BQ时，

4+m2=

1+（3-m）2，解得：

m=1，

所以Q点坐标为（1，1）.

所以抛物线的对称轴上存在着点Q（1，6）、（1，

-6）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使ABQ是等腰三角形.

二、直角三角形中点的存在性问题

例2在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图2所示；抛物线

y=ax2-ax-2经过点B.

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：过点B作BDx轴，垂足为D，可知BDC≌CAO=90°，所以点B的坐标为（3，1），可得抛物线的解析式为

y=12x2-12x-2.

假设存在点P，使得ACP是直角三角形，可分三种情况：

①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1Mx轴，如图3.

可证MCP1≌BCD，于是CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线

y=12x2-12x-2上.

②若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2Ny轴，如图4.同理可得AP2N≌CAO，于是 NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（-2，1），经检验点P2（-2，1）也在抛物线

y=12x2-12x-2

上.

[TP

.tif>，BP#][TS（][HT5”SS][JZ]图4图5

[TS）]

③若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3Hy轴，如图5同理可得AP3H≌CAO；所以HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），经检验点P3（2，3）不在抛物线y=12x2-12x-2上.

故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个.

三、相似三角形中点的存在性问题

例3如图6，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，

52）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；

（3）在y轴上是否存在这样的点P，使AFP与FDC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.

解析：（1）由题意知抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，

52），可得抛物线的解析式为

y=12x2-4x+6.

（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.

由抛物线的解析式

y=12x2-4x+6

可知抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，-2）.则AN=4.

又知直线AC过A（0，6），C（7，52）.所以

直线AC的解析式为

y=-12x+6.

可得点E的坐标为（4，4），F的坐标为（4，-8）.

于是可证ANF≌MNF，得∠CFE=∠AFE.

（3）假设AFP与FDC相似可分两种情况.

由C的坐标为（7，52），F坐标为（4，-8），A的坐标为（0，6）.

所以CF=

（52+8）2+（7-4）2

=3532

，

FA=（6+8）2+42

=253.

又DF=6，由题意易知∠PAF=∠DFC，

①若AFP1∽FCD，

则P1ADF=

AFCF，即

P1A6=

253

3532，解得P1A=8，求得0 P1=8-6=2，

所以P1的坐标为（0，-2）.

②若AFP2∽FDC.

则

P2ACF

=AFDF

，即

P2A

3532

=2536

，解得P2A=

532，求得0 P2=

532-6=

412.

所以P2的坐标为（0，-412）.

所以符合条件的点P的坐标是两个，分别是P1（0，-2），P2（0，-

412）.

四、特殊四边形中点的存在性问题

例4如图7，抛物线

y=13x2-mx+n

与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且对称轴x=1.

（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标.

[TP

.tif>，BP#][TS（][HT5”SS][JZ]图7图8

[TS）]

解析：（1）由对称轴x=1可知

--m2×13=1

得m=23，又

n=-1，所以抛物线的解析式为

y=13x2-23

x-1

，由

13

x2-23x-1=0

得x=-1或x=3，所以A（-1，0），B（3，0）.

（2）假设四边形QPAB是平行四边形，则PQ与AB存在两种位置关系平行或平分，故可分两种情况讨论：

①当PQ平行等于AB时，PQ=4，当P在y轴右侧时，P的横坐标为4，当P在y轴左侧时，P的横坐标为-4，所以P1（4，

53），P2（-4，7）.

②当PQ与AB互相平分时，PQ过AB的中点（1，0），可得P的横坐标为2，所以P3（2，-1）.

综上所述P的坐标为（4，

53）或（-4，7）或（2，-1）.

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法.在运用分类思想解决点的存在性问题时，其关键是抓住图形的特征，进行系统的分类，既不重复、也不遗漏. 另外在解决此问题时往往先假设问题的存在，再通过对图形的特性的分类得出相应线段的等量关系，并转化为方程来解决问题.