正弦变换与Bézier曲线的参数化

摘 要： 通过对Bernstein基函数实施正弦变换，给出了Bézier曲线的一类重新参数化方法。基于Bernstein基函数，导出了正弦—Bernstein-Bézier类（Sine Bernstein-Bézier Class-SBBC）函数，定义了SBBC曲线，讨论了SBBC曲线和Bézier曲线的关系，提供了Bézier曲线重新参数化的一种有效方法。

关键词： 正弦变换； SBBC函数； SBBC曲线； Bézier曲线； 重新参数化

中图分类号：TP301.6 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2013）10-49-03

0 引言

曲线的重新参数化方法在几何造型和CAGD中有重要应用。国内外学者已经给出不少重要的结论和方法。有理Bézier曲线可以通过线性变换进行重新参数化而保持参数域和控制顶点不变，变化的是参数和曲线上点的对应关系[1]。Farin和Worsey给出了有理Bézier曲线的标准形式[2]，他们建议重新参数化有理曲线以使得首末权因子为1。Farouki讨论了曲线的最佳参数化方法[3]，给出了与曲线导数有关的最佳参数化标准。郑建民研究了与重新参数化有关的有理Bézier曲线的权因子比率的最小化问题[4]。施法中等介绍了通过权因子变换实现曲线重新参数化的途径[5-6]。

需要说明的是，这些文献中解决曲线参数化或重新参数化的问题时主要采用有理线性参数变换f（u）=[（1+α）u]/（1+αu），u∈[0，1]，α>-1，α∈R和权因子变换，前者涉及到参数u的有理式计算和化简，计算量较大；后者在讨论参数化之前必须确定曲线的形状不变因子，需要相关的计算支持。本文通过对Bernstein基函数实施正弦变换，得到了Bézier曲线等价形式的SBBC曲线，它可以规避现有方法的局限。

5 结束语

SBBC曲线是Bézier曲线的等价形式。可以用来解决Bézier曲线的重新参数化问题。通过调整重新参数化因子θ的值，可以得出任意参数化条件下的Bézier曲线的重新参数化形式，算法计算简单，容易操作，具有通用性。

参考文献：

[1] Lucian， M. Linear fractional transformations of rational BézierCurves. In： Farin， G.（Ed.）， NURBS for Curve and Surface Design. SIAM [M].ISBN 0-89871-286-6.

[2] Farin， G.， Worsey， A.J. Tessellation of curved surfaces under highly varying transformations. In： Proc. EUROGRAPHICS 91（1991）：385-397

[3] Farouki， R. Optimal parameterizations[J].Computer Aided Geo-metric Design，1997.14（2）：153-168

[4] Jianmin. Zheng. Minimizing the maximal ratio of weights of arational Bézier Curve[J].Computer Aided Geometric Design，2005.22：275-280

[5] 施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].高等教育出版社，2001.

[6] 韩西安，施法中.有理Bézier曲线的重新参数化方法研究[J].小型微型计算机系统，2001.1（22）.