正弦量的旋转矢量表示法

[摘 要]由于旋转矢量能够有效体现正弦量的三要素角频率、最大值和初相位，因此利用旋转矢量方法表示正弦量是可行的。而且由于旋转矢量具有能够直观地表达正弦量三要素的优点，其为确定正弦量的初相及正弦量的合成等提供了最为直观、简捷的研究方法。

[关键词]正弦交流电；旋转矢量；正弦量的三要素

中图分类号：O441 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）01-0291-01

1 引言

角频率、最大值和初相位是确定正弦量变化情况的三个重要的量，称之为正弦量的三要素。正弦量的常用表示方法有：解析式法、波形图法、旋转矢量法和复数法等。通常，不论用何种方法表示正弦量都需要知道正弦量的三要素，因为只有确定了正弦量的三要素才能确定该正弦交流电。正弦量的解析式和波形图表示法，均可完整地表示一个正弦量的三要素，是正弦量的两种基本表示法。但在直接运用解析式或正弦波形表示法进行分析计算是比较繁琐和困难的。而旋转矢量由于具有能够直观地表达正弦量三要素的优点，为确定正弦量的初相及正弦交流电量的合成提供了最为直观、简捷的研究方法。

2 旋转矢量的基本原理

由原点O做一矢量OM，使矢量的长度等于正弦交流电的最大值A，令矢量OM绕O点做逆时针方向的匀角速旋转，其角速度与正弦交流电量的角频率相等。这个矢量称为旋转矢量以A表示。设时，旋转矢量与OX轴的夹角为，等于正弦交流电量的初相。经过时间t，旋转矢量转过的角度为，它与OX轴的夹角变为，等于正弦量在该时刻的相位。由图1可知，旋转矢量A在纵轴上的投影为，此表达式正是正弦量的表达式。因此，旋转矢量A的矢端M在纵轴上投影点的运动，可用来表示正弦量。矢量A以角速度旋转一周，相当于正弦交流电变化一个周期。需要说明的是：旋转矢量本身并不按正弦规律变化，而是旋转矢量的矢端在纵轴上投影点的运动与正弦量的变化规律一致。旋转矢量只是表示正弦量的一种数学工具，两者存在一种对应关系，但旋转矢量并不等于正弦量。

不难看出，正弦量的旋转矢量表示法吧正弦交流电的三要素：最大值、角频率和初相直观地表示出来。矢量的长度为正弦交流电的最大值，矢量旋转的角度为正弦交流电的角频率，矢量与OX轴的夹角为正弦交流电的相位，时矢量与OX轴的夹角为正弦交流电的初相。

3 应用举例

已知正弦量和，分别用解析式表示它们。

解：由，可得该正弦量的三要素为，电压有效值，初相，可设角频率为，根据正弦量的解析式，可得的解析式为：。同理，由，可计算得出，初相，由旋转矢量根据很容易判断出初相，而排除了的可能。因此，相较于初相已知的正弦量，由于相量的相量需求解，且，显然用旋转矢量可直观、快速的判断出其初相。这正是应用旋转矢量分析正弦量初相的优势所在。

求与之和。

解：用相量表示和：，

计算和的相量和：

将相量转化为正弦量，得：

电流旋转矢量图如图2所示。

从该问题的解决可知：用复数形式表示正弦量，使正弦量的计算简便精确；而旋转矢量图将正弦量的相位关系直观形象地表示出来，并提供了几何分析的依据。在实际应用中，常将复数法与旋转矢量法结合起来使用，使问题的解决既有精确的结果，又有直观的图形。两者结合使用是分析和计算正弦交流电路很重要且行之有效的一种方法。

4 结论

由上述对旋转矢量的原理及应用举例的分析可得如下结论：（1）正弦量的旋转矢量表示法把描述正弦量的三要素直观地表示出来，为确定正弦量的初相及正弦量的合成提供了直观、简洁的研究方法；（2）只有同频率的正弦量才能画在同一旋转矢量图上，不同频率的旋转矢量由于其相位差随时间变化，无法进行比较和计算，不能画在同一相量图上。（3）除了正弦交流电量，简谐振动也可以用旋转矢量来表示，其在求解简谐振动的初相位、作振动图及振动的合成等方面，同样具有直观、简捷的优点。

参考文献

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