一滴水可以折射出阳光

摘要：以解“一道数学习题”为研究素材，搭建“初中数学解题思维支点”的研究平台，进行解题思路的探索与研究。

关键词：思维；解题思路；支点

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）03-0157-03

伟大的古希腊哲学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬起地球。”尽管他夸大了杠杆支点的作用，但却让我们明白了，想要四两拨千斤，获取成功，一定需要支点。现如今大部分学生对数学望而生畏，尤其是解好一道难题，就似乎更是一件遥不可及的事情，怎样让学生爱上数学，不害怕解数学题呢？笔者认为我想：为学生在解题中创设一个一个的思维支点是至关重要的。

思维的支点是根据学生的学习起点而确定的。通过学习起点的作用可以不停地将学生的思维从一个水平引向另一个更高的水平。学习起点包括学生思维的逻辑起点和现实起点。思维的逻辑起点是指学生按照《课程标准》的规定应该掌握的知识和能力基础；把握好思维的逻辑起点，可使教学更具有计划性。思维的现实起点是指学生在多方面学习资源的共同作用下，已经具有的知识能力和情感态度的基础；把握好思维的现实起点可以使教学更有针对性。新课程强调数学教学必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，要把学生的个人知识、直接经验作为数学教学的重要依据。因此，培养良好的思维支点是数学解题教学的灵魂所在。那么如何根据教学内容和学生的认知发展规律去培养学生的思维支点，并在此基础上拓展他们的数学思维呢？下面结合笔者的教学实践，就在习题教学中如何创设学生解题的思维支点谈一点个人的体会。

案例：如图，菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，动点E（E不与A、D重合）、F分别在AD、DC边上，且AE+CF=2，

（1）试判断BEF的形状。

（2）设BEF的面积为S，求S的取值范围。

笔者班级的学生知识能力平均水平都不算高，可能会做本题的不到五个，更有可能的是还有大约四十人经过思考后，觉得无从下手而选择放弃。奥苏贝尔说过，“影响学生唯一重要的因素就是已经知道了什么，教师要探明这一点，并据此进行教学。”对于学生来说，问题是思维的起点，是解题的核心，是他们主动探索的源动力，因此问题设置的好坏直接影响学生解题的水平。 本着“送给学生一杯水，不如让学生寻找一滴水”的想法，课堂上改变了传统的提出求解问题的方式，变为提出：我们抛开要求解的问题，你还能由已知条件，得出哪些结论？由“要求学生求什么”向“学生能求什么”转变。重点培养的是学生对已知条件的整合并生成问题的能力。学生思考时没有了“问题”造成的压力，解题自然轻松自如，可谓“一‘问’激起千层浪”。接着学生自主的搜索，主动地思考。从而将一道结论模糊的题变成一道开放题，学生可以在不同知识基础和能力水平上提出自己的思路和方法，使各个层次的学生都能积极参与思考，从而使全体学生都能有所收获。

这下课堂活跃了。

生1：ABD和CBD为等边三角形

生2：DE=CF，AE=DF

生3：ABE？艿DBF，BDE？艿BCF

生4： BE=BF（BEF为等腰三角形）

此时基础偏弱的学生思维出现了障碍，他们认为自己的第（1）问已经解决了，就止步不前。而这时需要老师及时的点拨，学生数学思维才能继续拓展，思考的琴弦才能继续弹奏出更美妙的旋律。

师：BEF会不会是更特殊的等腰三角形呢？

在老师的启发下，学生接着会思考：这道题我可能没做完？这个三角形可能会是等腰三角形或是等边三角形？从而会去寻找两腰的夹角为 或一个角为60o？

生5：BEF为等边三角形，∠EBF=60o

生6：S的取值范围为： ……

教育家说得好：要把知识的果子放在让学生跳一跳才能够得着的位置，教师要把握好问题设置的难易度，只有有效地教给了学生思维支点的方向和技巧，学生才会自己去寻找答案。因此，寻找和设计习题思维的支点，就是一种打开学生心扉，提高学生学习兴趣，提升解题能力的一种方法和手段。

笔者发现基础偏弱的同学可以得出生1～生4回答的结论，中等学生在老师的引导下可以得到生5的结论，能力较强的学生在合作探究下可以独立完成本道题。

接下来，分别请了三个不同层次的学生讲解：

请生7（基础偏弱）完成BDE？艿BCF（SAS）的证明， 生8（中等生）完成BEF是等边三角形的证明，老师强调：要证BEF为等边三角形，关键是求∠EBF=60o即由BDE？艿BCF？圯∠DBE=∠CBF？圯∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60o，对于以上两个结论，全班同学在老师和同学的启发和点拨下基本上可以掌握之后。请生9（优等生）完成由等边三角形面积公式求出SBEF=■，于是，要解决SBEF的取值范围，关键求BE的长，又因为点E为动点，所以BE 的长由点E的位置来确定。设DE=x，则AE=2-x，过点B作BHAD交AD于点H，由等腰三角形三线合一，

学生自己有效地小结解题思路不仅可以帮助学生巩固已学的知识，还便于建立知识的框架，理清知识的体系。

新课标提出“探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其它方法”。在数学解题教学中，老师尽量运用不同的解题方法来让学生获取知识。接下来老师继续提问：一个图形的面积的求法一般有几种？

生：两种，①公式法，②面积的割补法

师：这两种方法一般在什么条件下用？

生：①特殊的图形（可以用公式的图形），②不规则的图形

师：本题可以用第②种思路求解吗？

生：可以。

SBEF=SBDE+SBDF-SDEF

数学问题解决的过程，实际上就是一个由思维支点开始不断转化的过程。把条件转化为结论，把较难的问题转化为较易的问题，把抽象的转化为具体的，甚至有时把“数”转化成“形”或“数形结合”。

师：除了这两种方法外还有其它的解题思路吗？

老师引导：学生10告诉我们当x=1时，BE最短。结合图形来看，这时点E在AD的什么位置？

生：中点。

师：为什么点E在AD的中点时最短？

生：BE最短，即从点B作AD的垂线，而ABD为等边三角形，由三线合一可知点E在AD中点时最短。

师：点E由AD的中点分别向点A、点D移动的过程中，我们发现BE的长有什么变化？

生：逐渐变大了。

师：点E移动时，点F动吗？点E位置确定时，点F的位置确定吗？

接着老师强调数形结合思想在数学学科的重要性。

为了让学生能更好地理解这种思路，老师将解法三的主要思维过程板书在黑板上。

解法三：BE表示点B到线段AD上的点的距离（即点E与点H重合）。当BEAD时，BE最短，此时BE=，假设点E与A、D重合时，BE最长，此时BE=2第三种方法的出现，不仅让中等生和差生感到这类题不太难，同时也大大提高了优等生对数学难题的兴趣。

在习题教学中，引导学生从不同的思维角度，用不同的方法来思考问题，这样不仅有利于培养学生勤于动脑思考、乐于探索、在求“变”、求“新”中主动思考的良好品质，同时还培养了学生思维的敏捷性和灵活性。

在一问一答中，让学生明白，在解决问题时有法可依而无定法可循。“只有适合自己的才是最好的”。

一道题解完后，也难免有不如意的地方。最后要求学生：①总结本题的解题思路和找出解题的关键点和难点。②对自己在解题中考虑不全之处进行反思。在平时的解题教学中培养学生总结和反思的良好习惯会使学生的解题能力更上一层楼。这样，有时整堂课虽然只讲解了一道题，但让不同层次的学生都有所得，笔者认为是值得的。

数学的许多练习题都是从同一习题演变过来的，但题海战术是不值得提倡的，这就需要老师在教学过程中多层次、多角度的去引导学生对已学知识的运用和迁移，达到举一反三，触类旁通的效果。为了巩固本堂课的教学，笔者也改编了一道题作为当天的作业。

【改编题】如图，菱形ABCD中，∠B=60O，AB=2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE=AF，接连EF、EC、CF。

（1）求证：EFC是等边三角形；

（2）试探究AEF的周长是否存在最小值。

如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出 AEF周长的最小值。

爱因斯坦说过，“提出问题比解决问题更重要。”知识并不能简单地由教师或他人给学生，而只能由每个学生依据自己已有的知识和经验主动地加以“构建”。

这堂课也让笔者认识到：数学教学活动不仅要尊重学生已有的认知水平，要注重知识的整体建构和细节设计，而且也要为学生创设一个广阔的思维支点空间。这个思维的支点归纳起来就是：①老师在问题的创设处指引学生解题前进的方向，让学生深刻地领会到解题的关键点。②在学生对解题的不完整和困惑处，引领学生走出“山重水复疑无路”，进入“柳暗花明又一村”的佳境。③在学生解题的探索迷茫处及时的点拨，为学生更进一步的探索创造条件。④为学生创建一个自我展示思维的平台。总之，在平时的教学中，长期坚持这种做法。这样不仅可以培养学生积极思考、勇于探索、大胆创新的良好习惯，同时，也会让我们的学生更加乐于学习数学，我们的课堂也会更加精彩和完美！

参考文献：

[1]华应龙.个性化备课经验[M].北京：教育科学出版社，2007.

[2]胡余建.初中数学教例剖析与教案研制[M].南宁：广西教育出版社，2005.

[3]北京义教课标教育研究中心编.新课程改革实验优秀教学设计方案[M].北京：北京图书馆出版社，2002.