等效电阻求解决窍

一些特殊电路中，用常规的串并联规律难以求出电阻值。但是，如果妙用电路的特点，灵活地处理电路，复杂的问题就可迎刃而解。

一、利用电路的对称性

例1 如图1，有一块均匀的半圆薄金属片，已知A、B两点间的电阻为R，求C、D两点间的电阻。

由题可知，均匀金属片为一半圆，具有明显的对称性。因此，本题可利用图形对称这一特征来寻找解决问题的突破口。

解法一：如果把半圆沿C、D再对称地分为两个圆片，则A、B间的电阻可认为是两个圆片串联而成的，由于A、B间电阻为R，故其中每块圆片的电阻为。而C、D间的电阻可认为是由两块这样的圆片电阻并联而成的，故C、D间的电阻就应为×=。

解法二：假设将图中所示的半圆片用另一相同的半圆片将其补充成为一完整的圆片，如图2所示。则A′、B′间的电阻应由两块竖立的半圆电阻并联而成，而每块竖立的半圆片电阻为R，所以A′、B′间的电阻值应为，即整个圆片的电阻值为。C′、D′间的电阻可看成是由左右两半圆片电阻串联而成，所以C、D间的电阻就应为×=。

例2如图3所示，滑动变阻器的最大阻值为50 Ω。当滑片P置于什么位置时，a、b间的电阻最大？此时a、b间的最大电阻值是多少？

解：设滑片移到中点时，原滑动变阻器等效为两个电阻，R=R=R=25 Ω，电阻并联，如图4所示。

R==

若滑片移到任何一点时，原电路可变为R′=R+t与R′=R－t并联。

如图5所示，R′===＜R

故只有P移到中点时，并联总电阻最大，最大值为R==12.5 Ω。

例3图6所示为一立方体框架，其每条棱的电阻均为1 Ω，求其两相对顶点A、G之间的电阻。

解：立方体框架具有明显的对称性。设电流自A点流入，自G点流出根据对称性，AD、AB、AE三条棱上的电压必然相等，由此可将电路中的B、D、E三点看成是连接在一点的。同样又可以把电路中的C、F、H三点看成是连接在一点的。这样，从电路的角度看，图6的框架连接就等效为图7的连接，A、G之间的电阻值为

R= Ω+ Ω+ Ω= Ω。

例4用同样的电阻值均为r的导线，将n个点彼此成对地连接起来，求这一系统的任意两点之间的电阻。

分析：为求得n为任意数值下本题的结论，这里先取n=4的情况来进行讨论。如图8所示，设有A、B、C、D四点，其中任意两点间电阻均以电阻为r的导线连接，现需求A、B两点间的电阻。为此，我们不妨设有电流自A点流入此系统，而由B点流出，电流自A点进入此系统时，将分为三支，即AB和ACB和ADB。从对称角度来看，可以认为在此电路中D点和C点的位置是对称的，故在连接C、D两点的导线中，A和D谁也不占有优势，即此导线中既不可能有由C流向D的电流，也不可能有由D流向C的电流。此时此导线中无电流通过，从此时形成电流的通路来说，相当于C、D间没有直接连接导线一样，即此时图8和图9的电路是等效的，而由图9来求A、B间的电阻R可由下式求得：

=++

即=++

所以R=r

解：由上分析，设有n个点如题述连接，对于其中某任意两点间的电阻R来说，这一系统的电路将等效于类似图9的电路，即没有与这两点直接连接的导线，均可略去不计，这样，在这两点之间就只并联有（n－1）条支路，其中有一条支路的电阻为r，另外还有（n－2）条支路，它们的电阻均为2r，由此可得这两点间的电阻R应满足

=+（n－2）， 所以，R=

经检验可以看出，上式对于n=2和n=3时都是同样成立的，即R=就是包含有n个点的这样的系统内任意两点间电阻的表达式。

二、利用电路的重复性

例5图10表示由很多R=1 Ω的相同电阻组成的无穷网络，求A、B间的总电阻。

由于题目给的是一个无穷网络，故若将题中的网络按照其组成规律增加或者减少一格，仍然为一个由原组成规律的无穷网络，其总电阻应不发生改变。

解法一：设RAB=x，设想自A、B处照原网络增加一格，即在图10中的A、B间再接一电阻R，并自A处向左接一电阻R至A0点，自B处向左接一电阻R至B0点。则A0、B0的右侧与A、B均为一个无穷网络，且其结构相同，故应有

x=2R+

x2-2Rx+2R2=0

解这个二次方程并取合理值有

RAB=x=（1+）R=（1+） Ω

解法二：设想将图10中左端的三个电阻取走，则剩下以A1B1为起始点的部分仍然是一个无穷网络，它与原无穷网络电阻相同，这样可得到和解法一同样的方程和结论。

解法三：设自A点流入网络的电流为I（则自B点流出的电流也为I），在A1点，有电流?琢I流向B1，有电流（1-?琢）I流向A2。对于A1点和A2点来说，其右侧可以看成是相同的无穷网络，则流入该点的电流在流出时，其分配比例应该相同，则自A2点流向B2点的电流应为（1-?琢）?琢I。

如上设有电流I由A1点直接流向B1点，则由此得到A1、B1间的电压为U=?琢IR。

另外，A1、B1间的电压也应该等于A1、A2点间的电压U、A2、B2点间的电压U与B2、B1点间的电压U三者之和，即

U=U+U+U，U=（1－α）IR

U=α（1－α）IR，U=（1-α）IR

即αIR=（1－α）IR+α（1－α）IR+（1－α）IR

整理得α2+2α－2=0

解这个方程并取合理值得α=－1

据此可得A、B间的电压UAB

U=U+U+U=IR+αIR+IR=（1+）IR

故A、B间的电阻为R==（1+）R=（1+）Ω。