来自“列方程解实际问题”教学中的思与行

法国数学家笛卡尔说过：“一切问题都可以归结为代数问题，一切代数问题都可以用方程解决，方程是解决一切代数问题的万能解法。”这虽是数学家的一种理想，但却折射出方程作为代数方法无法撼动的地位。可这对刚刚接触方程的五年级学生来说，用方程解实际问题却是“想说爱你不容易”。

实际和理想差距的根源在哪里呢？我想，可能是因为学生受长期以来都是用算术方法解题的影响，对新事物有抵触。此外，列方程解实际问题是在学生掌握用算术方法解实际问题，初步学会解简易方程的基础上教学的。小学阶段解方程主要是ax+b=c与ax+bx=c两种类型，所以小学数学中列方程解答的实际问题一般都不太复杂，学生能用算术方法解决，列方程解决感觉很繁琐，所以不喜欢用。但《数学课程标准》强调：“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。”因此，列方程解实际问题不仅仅是为了解题，更重要的是数学建模思想的渗透。

一、列方程与列算式解实际问题的比较

经常听到教师对学生说：列方程解实际问题比列算式好。试问：到底好在哪里？有多好？通过调查与访谈，我得出以下结论：列算式解题时，未知数始终作为一个“目标”，不参与列式，常常需要逆思考，并在脑中进行数量关系的变换，因而造成列式上的困难。而列方程解题打破了列算式时只能用已知数的限制，可以根据需要用字母表示未知数，根据题中数量之间的等量关系，列出含有未知数的等式（即方程），题目中怎样叙述就怎样列式，一般不需逆思考。因此，列方程要比列算式思考起来更自然，有更多的优越性。

可实践证明这只是教师们的一厢情愿，学生们根本不领情。经过一番跟踪调查，我逐渐清晰地认识到：方程及方程思想是逐步渗透在小学各个阶段中的，对于没有学过代数式的小学生来说，未知数的引入是个难点，需要用鲜明的例题让学生产生认同感。只有让学生在思想上感到理性精神的震撼，才会自觉地运用方程来解决问题，欣赏方程思想所带来的理解上的便捷。如果将要求的答案比喻为河对岸的一块宝石，那么算术方法好比摸着石头过河，从我们知道的岸边开始，一步一步地摸索着接近要求的目标；而代数方法却不同，好像是将一根带钩的绳子甩过河，钩住对岸的未知数（建立一种关系），然后利用这根绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。两者的思维方向相反，但结果相同。

二、列方程解实际问题的教学

对此，如何进行列方程解实际问题的教学，为中小学衔接做好充分准备呢？

1.打好知识基础，实现顺利过渡。

列方程解实际问题的重点是根据题目中数量之间的相等关系，运用符号语言建立数学模型——方程，这需要有一定的知识基础，教学前可以结合用字母表示数与简易方程的教学做好准备工作。例如，结合用字母表示数的教学，训练学生用字母表示未知数，进而用含有未知数的式子表示实际问题中的数量关系，或者反过来把用语言表述的数量关系用字母表示出来，从而增强学生用符号表示量或数量关系的意识。在教学简易方程时，要使学生经历“把实际问题抽象成数学方程”的过程，通过这种抽象过程体会方程是刻画现实世界等量关系的一种有效的数学模型。

另外，学生初学列方程解实际问题时，容易受到列算式解题的思维定势影响。因此，教学时要注意引导学生克服思维定势，从算术解法过渡到方程解法。

2.密切结合实际，设计适合用方程解的问题。

学生能不能有效地开展列方程解实际问题的学习，一个重要因素是问题设计是否符合要求。适合用方程解的问题应具有以下特征。

（1）思考性。

问题的呈现应该能激发学生积极思考。问题的设计应向学生提供一个问题情境，这个情境对于学生来说应有一定的思考空间，呈现的问题要能体现列方程解实际问题的优越性。教学列方程解实际问题不仅开阔了学生的思路，而且从中学阶段学习的需要来看，使学生尽早过渡到列方程解实际问题是必要的。问题的设计要使学生对新方法的优越性有亲身感受，开始时可设计需要逆思考的问题。如：“李大伯用640米的篱笆围一块长方形的菜地。如果这块菜地的长是190米，那么宽是多少米？”这题和以前题目不同的是告诉周长要求宽，感觉需要逆向思维，这在一定程度上迫使学生积极思考，接受方程优于算术方法这一事实，并在实施过程中感知它的优越性。

（2）现实性。

问题的内容应该是学生熟悉的，所创设的情境、涉及的数据等在现实生活中确实可能发生。有些问题虽然现实生活中存在，但学生很少碰到或不熟悉，这类问题应尽量避免，否则只会起到反效果。

（3）趣味性。

根据学生的心理特点，问题设计应该有一定的趣味性，语言和内容应该具有童趣；语言要简单明了，内容要结合学生的生活实际。

（4）开放性。

问题的设计还应兼顾开放性，具有多样化的教学功能，应予以重视。如：“妈妈买一套衣服一共用去135元，上衣的价钱是裤子的2倍。上衣和裤子各是多少元？”这道题是一道典型的和倍问题，解法上具有开放性，借助线段图可能会降低一些解题难度，但如果学生能够想到用方程的解法便会迎刃而解。

3.把握教学关键，渗透数学思想。

要使学生学好列方程解实际问题的关键是在理解题意的基础上找出应用题中各种数量之间的关系，然后根据等量关系列方程求解。数量之间的关系可以用线段图、示意图或表格等方法直观表示。苏霍姆林斯基说过：“教会学生把应用题‘画’出来，其用意就在于保证具体思维向抽象思维过渡。”当然，也可以利用算术解法中分析数量关系的方法，找出等量关系，列出方程。

值得一提的是，计算步数不同的问题，列方程解答时思考方法基本上相同，难度差异不大。其原因就在于列方程解实际问题存在着共同的本质的东西——寻找等量关系，建立方程模型，而方程的解答又最终转化成x=a的情形，这其中蕴涵了数学建模的思想和转化的思想。课堂教学中，教师要紧扣这两种数学思想进行渗透。

如：①小东和小芳同时从相距2200米的两地相对走来，小东每分钟走60米，小芳每分钟走50米。经过几分钟两人相遇？

②甲乙两辆汽车从同一地点同时向相反方向出发，甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，几小时后两车相距700千米？

③甲乙两辆汽车同时从同一地点向相同的方向出发，甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，经过几小时后两车相距100千米？

这个题组都是关于行程问题的，思考时要紧扣行程问题的基本数量关系来列方程，能够举一反三。而且，实际教学时为了突出方程解法的优势，可以让学生只列出方程而不求解，这样学生能够更真切地体会到方程解法的优越性，避免其解法繁琐的负面干扰。

4.加强比较，发展学生思维。

首先，要加强列方程与列算式解实际问题的比较。教学列方程解实际问题后，有些问题可以让学生分别列算式与方程来解。如：①56比（　）的2倍多4。②比26的2倍多4是（　）。通常情况下，在教师反复强调方程解法的优越性后，学生就会不加选择地见题目就用方程来解决。所以，教学时教师要通过比较，引导学生体会列方程解题的优越性或鉴别在什么情况下选择哪种解法简便，从而培养学生根据具体情况灵活选用解题方法的能力。

其次，有些问题由于考虑角度不同，可以列出不同的方程，从而产生不同的解法。教学时，教师要鼓励学生从不同的角度寻找等量关系。如：“学校进行打字比赛，小红每分钟打30个字，小明每分钟打40个字，经过多少分钟小明比小红多打200个字？”这道题可以先考虑算出每分钟小明比小红多打的字，从而列出方程（40-30）x=200；也可以考虑几分钟两人分别打的字，从而列出方程40x-30x=200。列出不同的方程，并通过讨论、交流，对不同策略加以比较，从中找出最优方法，可以培养学生思维的发散性与灵活性。

（责编　杜　华）