构造法解中考数学中圆半(直)径问题初探

摘 要：本文对近年来中考数学试题中有关圆半（直）径的计算问题进行了比较全面的总结和分析。从四个方面对常见题型及其解法作了探索和归纳，具有一定意义的指导性和示范性。

关键词：中考数学；圆；构造法

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-02-0215-01

中考数学试题中，圆半径的计算题屡见不鲜，下面我就近两年的中考数学试题中出现的圆半径的求解问题枚举如下，并对其解法作一探究。

一、构造直角三角形求解

（1）求证：CF=BF

（2）若CD=6，AC=8，则O的半径是多少？

解析：（1）略；

（2）此题要求O的半径，“题眼”有两个，一是6，8，10恰好是一组勾股数，可联想直角三角形求解；二是直径AB所对的圆周角是直角，也可使考生联想起构造直角三角形来求解。

又AB为O的直径，∠ACB=90°。

在RtABC中，AC=8，CB=CD=6，

AB= AC2+CB2= 82+62=10，

二、构造三角函数求解

（1）求∠BAC的度数；

（2）求O的周长。

解析：此题从题目看是要求O的周长，其关键还是求解圆的半径。可以考虑用三角函数求解，而要用三角函数求解就需要将已知条件全部转化在一个直角三角形中。因此考生首先要解决的问题就是构造符合条件的直角三角形，然后用层层递推的办法就可找到解题思路和方法。

∠BAC=60°。∠BAC=60°

（2）连接OA、OC，作OEAC于E。

在ABC中，∠ACB=∠BAC=60°，

ABC是等边三角形。

等边三角形的内心和外心重合，

OA、OC是O的半径，OAC为等腰三角形，

O的周长为2π·OC=2π·2=4π（㎝）。

三、构造一元二次方程求解

例3.如图3，在RtABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F。

（1）求证：BD=BF；

（2）若BC=6，AD=4，求O的面积。

解析：此题的最终结果是要求O的面积，因此求O的半径就成了首先要解决的问题。而O的半径与ABC和DBF都有关系。但考察已知后发现，ABC中的已知条件比较集中，连接OE，很容易找到ABC和AOE相似的条件，通过相似，就可以构造出以O的半径为未知量的一元二次方程。通过解方程就可求解问题。

略解：（1）略。

（2）连接OE，设O的半径为r，OE∥BC，ABC∽AOE。

r2-r-12=0，解之得r1=4，r2=﹣3（舍去）。

SO=πr2=16π。

四、构造相似三角形求解

解析：此题中既有垂直关系，又可以构造同弧所对的圆周角，故可以考虑用三角形相似的办法来求解。

将CH、HD、HB代入（1）得AH=2.

AB=AH+HB=1+2=3。