大胆实践 鼓励创新

数学课程标准（修改稿）指出：“要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程。”“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。”这些理念与创新意识和实践能力的培养紧密相连。作为基础学科的数学教学，其最高境界是培养学生把数学思维运用于解决实际问题的能力。课程标准也明确指出要培养学生的“应用意识和创新意识”。.

培养学生的创新意识，关键在于教学思维的创新。笔者以为：数学教学中的思维发散训练是培养学生应用意识和创新意识的有效途径。那么数学教学中如何更好地对学生进行“发散”启发，灵活地运用“发散”训练鼓励学生创新思维的形成？本文试着就笔者在十多年教学实践中的点滴体会提出来，以求教于大家。

一、对同一条件、多个结论的发散训练

这种训练是指确定了已知条件后，没有固定的结论，要求同学们尽可能多地确定未知结论，并去验证这些结论，从而充分揭示思维的深广度。

【例1】如图1，在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON，过M、N两点，利用三角板的直角分别作OA、OB的垂线MC、MD，分别交OB、OA于C、D两点，两垂线的交点为P，作射线OP。

在有关“三角形的角平分线”的知识学了以后，我向学生演示了作该图的过程，并及时提出：(1)图中射线OP是∠AOB的平分线吗？为什么？(2)图中除了OM=ON外，还有哪些相等的线段？(3)图中有几对相等的角？(4)图中有全等三角形吗？如果有，则有几对？(5)受此图的启发，你能说说我们还可以怎样来作角平分线呢？

通过此类问题结论的挖掘，学生的情绪高涨，思维得到了多方位的展现，帮助学生改变了思维的固定模式，而且能从多角度、多层次地去思考分析问题，从中找出规律性或最优化的方法，最终达到举一反三、融会贯通的目的。

二、对同一结论、多个条件的发散训练

这种训练是指问题的结论确定后，尽可能改变已知条件，进而从不同的角度、用不同的知识来解决问题，从而充分揭示数学问题的层次，暴露学生自身的思维层次，使学生从中吸取数学知识的营养。

【例2】如图2，已知在RtABC中，∠A=90°，以AB为直径作圆交斜边BC于D，E是AC上的点，连结OE、ED，试给出适当的条件，可以确定DE为O的切线。

从图2中分析可知，已知条件的给法有许多种。要使DE为O的切线，则只要OAE≌ODE即可。所以已知条件的给出可以是：①∠AOE=∠ABC；②OE∥BC；③AE=DE；④AE=EC；⑤DE=EC。已知条件①或②可以推得∠DOE=∠AOE，从而得到OAE≌ODE；已知条件③直接从三边对应相等，即得OAE≌ODE；已知条件④可以推得条件②，也可以推得条件③；已知条件⑤与AB是O的直径，可以推得条件③或④。这样，让学生自己出题自己解答，就会感到一种自豪感、轻松感，也极大地增强了学习兴趣，既使基础好的学生觉得有事可做，也使基础较差的学生觉得能试上一试。

三、对同一类型、多种图形的发散训练

这种训练是指通过图形变换，即转换问题的形式内容，利用图形的连续演变，产生一系列新的图形。它可将一题推广而得到许多不同的题，联系命题证法的多样性，培养学生思维的多样性。

【例3】如图3，已知O1与O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，经过点B的直线EF与O1交于点E，与O2交于F。求证：CE∥DF。

本例待学生证明后，笔者适时提出两个问题：

(1)若原命题条件不变，但不画图示，那么按题意画图可能出现其它情况吗？学生自己动手画图，经过演变画出以下图4～图7这四种图形。

（2）CE∥DF是否成立？若成立，又应如何证明？

上述题组尽管图形都有变化，但证明的思路变化不大。在平时的教学中，若能有意识地加强这方面的训练，这对培养学生善于分析题意，观察图形特点，总结解题规律，无疑能起到积极作用。

四、对同一题目、多种解法的发散训练

这种训练是指从不同角度来探求解题思路，采用不同的解法，以培养学生一题多解、一题多变、一题多联、一题多思的解题能力，从而达到对学生创新思维的启迪与熏陶。

【例4】如图8，已知O和弦CD，延长CD到A，过A作直线AB交O于B，使AB2=AD・AC，求证：AB是O的切线。

本题是有关切线的证明，在教学中要启发诱导学生采用多种方法证明之，引导学生从不同角度来证明这命题，促使其发散思维深入、升华。

现将证题思路分析如下：

[思路一]欲证O的切线，由常规思路可连结OB，证OBAB，即证：∠ABD+∠DBO=90°，于是延长BO交O于E，连结DE、DB后，只须证：∠ABD=∠E（见图9）。

[思路二]要证AB是O的切线，应证∠OBA为直角，于是需构作一个90°角，显然，自A在ADC的另一侧作O的切线AE，则∠OEA=90°，故只须证∠AEO=∠ABO（见图10）。

[思路三]证AB是O的切线，则证明：OB2+AB2=OA2，故作OECD于E，则DE=EC，OA2－OＢ2=ＯＡ2－ＯＣ2＝（AE2+OE2）－（OE2+CE2）=AE2－CE2=（AE+EC）(AE－EC)=AC・AD=AB2（见图11）。

[思路四]要证AB是O切线，即证明AB与O只有一个公共点，因而采用反证法。

[思路五]也可用同一法证，过B点引O的切线交CD延长线于A′，从而证明点A与A′重合（见图12）。

上述五种思路中，思路四与五虽然在平时的教学中不常采用，但如果利用课余时间为基础较好、有兴趣的学生作一介绍，无疑对这些学生发散思维与创新意识的培养是大有益处的。

十多年的教学实践使我深深体会到：对学生进行发散思维训练，必须强化学生的“四基”训练，千万不要为追求思维发散而忽视对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的训练，否则有舍本求末之嫌；对学生进行发散思维训练的同时，也促进了我们教师教法的发散；发散思维训练有利于培养学生的创新意识和创造思维，有利于克服“题海战术”，使广大学生从机械的、死板的无效劳动中解放出来，真正成为学习的主人。在教学中如何选择发散点，从何入手对学生有意识地进行培养等问题，仍是我们在今后的教学实践中应进一步探索与思考的课题。

（作者单位：浙江省上虞市实验中学）