等腰三角形一个基本图形的提炼与应用

一、问题的提出

苏科版《数学》八年级（上册）在“1.5 等腰三角形的轴对称性”第二课时中设计了如下的一组探索问题：

1.如图1，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，所得∠1与∠2相等吗？为什么？

2.如图2，将纸条沿截线AB折叠，在所得ABC中，仍有∠1=∠2.度量边AC和BC的长度，你有什么发现？

图1图2

教材设计这两个相关联的探索问题意在通过学生的动手操作、度量、思考，引导学生发现等腰三角形的判定定理“等角对等边”.在探索过程中还可以改变折痕的位置重新操作，使学生进一步发现虽然∠1、∠2的大小改变了，AC、BC的大小也随之改变，但是AC =BC的结论不变.这个探索过程，启发我们提炼出等腰三角形的一个常见的又非常有用的基本图形.

二、基本图形的提炼

图3

如图3，OC平分∠AOB，D为射线OC上一点（不与O重合），DE ∥AO，与BO交于点E，则EO =ED.用语言可表述为：“过角平分线上不与角的顶点重合的一点作角的一边的平行线，与角的另一边相交，交点到这点与角的顶点的距离相等.”可简称为“角平分线+平行线=等腰三角形”（以下称基本图形1）.图2是这一基本图形在折叠背景下的变式：长方形的对边始终平行，折痕可看作是角的平分线，图中始终会出现等腰三角形.实际上，这个基本图形中三个主要元素“角平分线、平行线、等腰三角形”出现其中的任意两个，第三个必然出现，即还可得：“等腰三角形+角平分线=平行线”（以下称基本图形2）或“等腰三角形+平行线=角平分线”（以下称基本图形3）.

三、基本图形的应用

1.显性图形，直接运用

例1（1）如图4，ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线分别交AB、AC于点E、F. 求证：EF =EB +FC.

图4图5

（2）如图5，ABC中，∠ABC、外角∠ACM的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线分别交AB、AC于点E、F.则线段EF、EB、FC之间有什么关系？不必说明理由.

解析：（1）根据BD平分∠ABC，EF∥BC，由基本图形1可证ED =EB，同理可证FD =FC，所以EF =ED +FD =EB +FC.

（2）EF =EB -FC.

评析：问题（1）将两个基本图形1巧妙结合在一起，探索三条线段的关系；问题（2）将一个内角平分线演变成外角平分线，设计成开放性问题，可考查学生在相对复杂的背景下发现基本图形并运用基本图形的能力.

图6

例2 （2012年深圳市）如图6，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连结AF、CE.

（1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）略.

解析：由折叠可知：EF平分∠AFC，AF =CF，EA = EC由矩形ABCD可得AE∥BC，利用基本图形1可得AF =AE，从而AE = EC =CF =FA，所以四边形AFCE为菱形.

评析：此题即是基本图形在折叠背景下的变式运用，实际上题目中矩形这个条件换成一组对边平行的四边形后再按同样方式折叠仍可得到相同的结论，通过这个问题的探究有利于学生认识问题的本质.

2.隐性图形，构造运用

例3已知：如图7，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE =∠BAE.求证：AF =BC +FC.

解析1：如图7，此题有∠FAE =∠BAE（即AE平分∠BAF）这个条件，出现了基本图形的部分条件，由正方形ABCD可得AB∥CD，因而将这两个条件结合起来，延长AE交DC的延长线于G，利用基本图形1可得等腰FAG，即AF =FG =FC+CG，易证GCE≌ABE，得GC =AB，又因为AB =BC，所以AF =BC +FC.

图7图8

解析2：如图8，此题有∠FAE=∠BAE（即AE平分∠BAF）这个条件，部分出现了基本图形的条件，由于点E为BC的中点，故取AF的中点H，连结EH，由梯形中位线可得：AB +CF =2EH、EH∥AB，由AE平分∠BAF、EH∥AB利用基本图形1可得等腰EHA，即HA=EH，所以FA =2AH =2EH，即FA =AB +CF=BC +CF.

评析：解析1将∠FAE =∠BAE、AB∥CD这两个看似毫无关联的条件通过辅助线巧妙结合起来，构造基本图形使问题得到解决，解析2通过题中已有中点，再取一个中点，利用中位线性质得到EH∥AB这个结论，从而与题中∠FAE =∠BAE这个条件联姻，构造基本图形使问题得到解决. 此题是苏科版《数学》九年级（上册）一道课本习题，题目解法灵活多样，远不止上面介绍的两种方法，题中还蕴含了其他的一些基本图形、重要结论，绝对称得上是一道经典几何题.

图9

例4（2012 福州市）如图9， AB 为O 的直径，C为O 上一点，AD 和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交O 于点E.

（1）求证：AC 平分∠DAB；（2）略.

解析：初看此题根本没有基本图形的影子，由于遇到切线常作辅助线“连结圆心与切点”，故连结OC，此时得OA =OC，即构造了等腰OCB，且OCCD，又因为ADCD，可得OC∥AD，由基本图形3可得AC 平分∠DAB.

评析：试题将等腰三角形、平行线隐藏起来，需要学生综合题中条件进行思考，通过辅助线使基本图形显现出来.试题具有一定的拓展变化空间，将条件“AB 为O 的直径”、“CD是O 的切线”“ADCD”之一与结论“AC 平分∠DAB”对调，借助基本图形可以证明得到的新的命题仍然成立.

3.综合运用，彰显能力

例5 （2012年武汉市）如图10，点A为抛物线C1：y= 12x2-2的顶点，点B的坐标为（1，0），直线AB交抛物线C1于另一点C.

（1）求点C的坐标；

（2）略；

（3）如图11，将抛物线C1向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQx轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值.

解析：（1）易求点A的坐标为（0，-2），故由点A、B的坐标得直线AB的解析式为： y=2x-2，从而求得点C的坐标为（4，6）.

（3）如图11，由NP平分∠MNQ，NQy轴，根据基本图形1可得等腰三角形，故设直线MN与y轴交于点T，则NT =TP.下面可考虑将NT、TP用有关点的坐标的代数式表示出来，建立方程解决该题.故过点N作NH y轴于点H，由（1）知直线AB的解析式为：

y=2x-2，故可设直线AB与抛物线C2的交点N的坐标为

（t，2t-2）.由题知抛物线C2的解析式为

y=12x2-2-m，将点N的坐标代入解析式可得

12t2-2-m=2t-2，即

m=12t2-2t，故抛物线C2的解析式为

y=

12x2-2-12t2+2t

.令y=0可求得点M的坐标为

（2-t，0）

，从而求得NQ =MQ= 2t-2，即∠MNQ =45°，故MOT与NHT均为等腰直角三角形，所以TO=MO=t-2，HN=HT=t，即NT=

2t.由抛物线C2的解析式可得P的坐标为（0，

-2-12t2+2t），所以TP=TO+OP=

12t2-t，根据TP = NT可得方程

12t2-t=2t，解得

t=22+2（t =0舍去），所以m=2..

图10图11

评析：本题是一道压轴题，充分考查了两个函数图象交点坐标的处理方法、消元法、构造法、一元二次方程的解法等多种数学方法，体现了转化、方程、数形结合等数学思想，难点颇多，但发现图11中的基本图形1，得到两条线段相等，利用其作为相等关系建立方程显然是解答此题的一个关键.

总之，

在几何知识的学习中教师要科学地设计教学过程，引导学生在探究中“揭开面纱”见“真颜”，发现、提炼并总结出一些有价值的基本图形及结论，掌握问题的本质，帮助学生练就“火眼金睛”，使学生在复杂的图形背景中快速找出基本图形，以不变应万变，学会举一反三，从而不断发展学生的解题能力、归纳总结的能力.

[ 江苏省靖江市团结初级中学（214524）]