一题多解 拓宽思路

数学学习的核心是培养同学们的数学思维能力． 本文以2011年数学高考全国卷第16题为例，从不同角度，用不同思路和不同方法来解题，旨在引导同学们扩展思路，开发思维潜能，提高思维品质．

【题目】 已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

【分析】 这是一道立体几何中求二面角大小的填空题， 虽然素材常见、形式普通， 但解题思路灵活，求解过程因不同方法而精彩纷呈，能较好地考查同学们综合利用所学知识解决具体问题的能力．

一、 定义法

过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线， 则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角．

解法1 如图，设正方体的棱长为3，则由题意知CF＝2，BE＝1，分别延长FE、CB交于点M，连结AM，作BNAM于点N，连结EN．

EB平面ABM，AM?奂平面ABM， EBAM．

又 BNAM， EB∩BN＝B，

AM平面BEN， AMEN．

故∠BNE即为面AEF与面ABC所成二面角的平面角．

BE∥CF， ■=■，即■＝■，

BM＝3， AM＝■=3■．

由■AM・BN＝■BM・AB，

得BN=■=■=■．

又EB平面ABM， EBBN．

故 tan∠BNE＝■=■=■．

点评 此解法中也可直接利用三垂线定理，来说明∠BNE即为面AEF与面ABC所成二面角的平面角，即利用三垂线定理，根据“与射影BN垂直，则也与斜线EN垂直” 的思想直接构造出二面角的平面角∠BNE，继而求出平面角．

二、 垂面法

用垂直于棱的平面去截二面角， 则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角．

解法2 延长FE交CB的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，设正方体的棱长为1，则有BP＝1，AP＝■，于是在APC中，有PC2＝AC2＋AP 2，得∠CAP=90°，即APAC，又APFC，则有AP面AFC． 故∠FAC为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角

tan∠FAC=■=■=■． 故填■．

三、 法向量法

通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角．

解法3 如图，建立空间直角坐标系．

设面ABC的法向量为n1＝（0，0，1），面AEF的法向量为n2＝（x，y，z）．

设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），E（1，1，■），F（0，1，■）．

所以■=（0，1，■） ， ■=（-1，0，■）．

则n2・■=0，n2・■=0，即y+■z=0，-x+■z=0.

取x＝1，则y＝－1，z＝3，

所以n2＝（1，－1，3）．

故cos＜n1，n2>=■=■．

因此面AEF与面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα＝■，sinα＝■，所以tanα＝■． 故填■．

四、 射影面积法

根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用cosθ=■来计算二面角 （其中θ为二面角） ．

解法4 显然AEF在面ABC内的射影是ABC，设它们的面积分别为S和S′，面AEF与面ABC所成的二面角为 θ.

设正方体的棱长为3，则AB=BC=3， BE＝1， CF＝2， AC＝3■，所以S′＝■×3×3＝■．

在AEF中，AE＝EF＝■， AF＝■，于是等腰三角形AEF底边上的高为■=■，所以S＝■×■×■＝■．

故cosθ＝■=■=■，有sinθ＝■，所以tanθ＝■． 故填■．