数列综合问题

摘 要：对于等差数列与等比数列混合交汇的综合问题，突破的关键是熟练掌握并灵活应用其定义、性质、通项、前 项和，并能熟记相关的“二手结论”。

关键词：等差；等比；前 项和；性质

数列是特殊的函数，是高中数学的重点内容，也是与高等数学内容的接轨之处，因而深受高考命题人青睐，是每年高考的必考内容。

纵观近几年的高考数列试题，我们可以看出高考命题主要围绕以下方面进行考查：

（1）数列自身内部问题的综合考查（如与的关系问题、递推数列问题的考查一直是高考的热点，求数列的通项与求数列的和是最常见的题目，数列求和与极限等综合性探索性问题也考查较多）。

（2）构造新数列思想，如“累加、累乘、错位相减、倒序相加、裂项求和”等方法的应用与创新.

（3）数列与其他知识的交汇综合考查，如数列与函数、方程、不等式、数学归纳法、三角、解析几何等知识的综合.

（4）数列的应用问题，主要是增长率、分期付款等数列模型.

等差数列、等比数列是数列中的两个特殊数列，高考中考查的非等差数列、等比数列问题，主要是将其转化为这两种数列，进而得解，其核心思想是转化与化归.在高考中，文科试题与解方程、求特殊数列的和有关，理科试题中数列与函数、不等式、数学归纳法等的综合问题是热点，复习过程中要加强逻辑思维能力与推理能力的训练与培养.对于等差数列与等比数列混合交汇的综合问题，突破的关键是熟练掌握并灵活应用其定义、性质、通项、前项和，并能熟记相关的“二手结论”.本文通过几道考查数列性质的题与高考题目链接对比来分析数列在高考中的基本考向.

例1（人教A版必修5习题2.3B组第2题）已知数列是等差数列，是其前项的和.求证：，，也成等差数列。

这是一道反映等差数列基本量思想的题目，利用通项与前项和的公式很容易解答，体现了由特殊到一般的数学思想.由此得出的结论具有典型性和代表性：“已知数列是等差数列，是其前项的和，设，则有，，也成等差数列”.在选择题、填空题中可作为“二手结论”直接使用，在高考中有不少试题可以体现.

既然等差数列有这样的结论，类比到等比数列，请问：等比数列是否也有类似的结论呢？通过类比引导学生再回顾课本，可得到等比数列也有类似的结论。

人教A版必修5习题2.5B组第2题就蕴涵着等比数列前项和的这一重要性质：已知等比数列的前项和为，求证：，，也成等比数列.

链接高考：（2010年高考数学安徽卷理科第10题）设是任意等比数列，它的前项和、前项和、前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（ ）

A.B.

C.D.

此题可以直接用上面提炼出的结论，，（）也成等比数列，代入、化简、整理即可解答.由此可以看出高考试题并不神秘，很多试题都直接或间接来源于课本，或是原题，或是变式题，或是直接由课本题提升而得的结论.这说明我们在高考复习中要紧扣教材、回归教材、抓纲务本。

例2：成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。

此题充分将等差数列等比数列进行了交汇结合.要解答此题，就需要引导学生分析入手点，即如何设出满足条件的数列，可技巧性的设成等差数列的三个数为，直接求得.这不仅训练了学生已知三个数的和且成等差数列的技巧设法，而且将基本量思想和方程思想也进行了综合训练.由此让学生归纳总结出一般规律：

（1）若已知奇数个数成等差数列并知道其和，可设这个等差数列为…，，…（公差为）；

（2）若已知偶数个数成等差数列并知道其和，可设这个等差数列为…，，…（公差为）；

再启发引导学生思考：若已知个数成等比数列并知道其积，又如何设该数列呢？

例3：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，求这四个数.

这是一道有关等差数列、等比数列的综合问题，可以让学生体会在等差数列、等比数列中方程思想的应用.可根据前三个数成等差数列设其为；或根据后三个数成等比数列，设其为；或设其为等，让学生感受利用等差数列、等比数列的有关知识灵活设元而得到的不同的解法.然后由学生比较、总结，得出简洁合理的最优化运算途径，以此培养学生运用数学概念分析问题、解决问题的能力，既培养学生思维的发散性，又培养学生思维的聚合性.

链接高考：（2011年高考数学湖北卷文科第17题）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列中的.

求数列的通项公式；

数列的前项和为，求证：数列是等比数列。

本题涉及等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时训练学生的基本运算能力和推论论证能力，难度适中，是一道好题.解题的关键是寻找如何设出此数列，找到突破口问题就简单多了.基本量法求解等差数列、等比数列的有关问题是基本功，必须过关，其求解的基本思路是：需要紧扣等差数列与等比数列的概念、性质，做出合理的分析与比较，根据他们的五个基本量（）的内在关系及题目中的条件建立方程（组），通过解方程（组）寻找突破口求解相关问题。

例4：有两个等差数列，，，求.

解：设等差数列，的前项和为，.

此题看似平凡，实则是一道难得的好题，它将等差数列的通项、前项和及性质进行了综合复习，并体现了转化与化归思想和构造法，体现了数列与函数的综合.解法1用的是构造法，要注意性质“当时，”的正确使用；解法2用的是待定系数法，充分利用了等差数列前项和是关于的二次函数形式；解法3利用了等差数列前项的和与通项之间蕴涵的一个关系：是等差数列，，此式在选择题、填空题中可作为“二手结论”直接使用。

由此题再启发学生思考：设等差数列，的前项和为，，且满足（1）如何求？（2）如何求？进而得出一般性结论：

链接高考：（2009年高考数学海南/宁夏卷理科第16题）等差数列的前项和为，已知，，则=.

解数列综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，通过给定信息的表象，只有抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，才能明确解题方向，形成解题策略。