中英学生数学素养差异的个案分析

一、问题的提出及研究的设计

“国际学生评价项目”（Program for International Student Assessment，以下简称PISA）旨在测量义务教育阶段末期15岁在校学生如何为生活而做准备，以迎接今日知识社会的挑战。作为一项重要的国际测试，PISA对各国的教育及其改革有着深远的影响。英国人将PISA称为“教育界的世界杯”竞赛。PISA评价的指标和所针对的世界教育中的问题引起了很多国家的重视。各参与国大都根据学生在PISA中表现的国际比较，反思本国教育的经验和不足，实施改革措施。数学作为一门通用的语言和科学，较少地受到文化和价值的影响，因此更易于进行国际比较。PISA2009结果表明，中国上海的数学素养得分为600分，位于世界榜首，而英国得分为493分，位于世界第29位，与中国上海的得分呈现显著性差异。那么英国的数学教育是否如测试结果那样糟糕？我们结合在英国里丁中学为期半年的考察和研究，通过案例对此进行探讨。

本研究选取英国里丁中学8年级的学生作为测试对象，合计110人，全部为男生。该校为英国选拔性学校，有近900名学生，2010年在全英的排名为第19名。在英国GCSE统一考试中得到A、A*并不容易，而里丁中学学生在数学GCSE考试中得A、A*的比例为100%。该校8年级有6个班，分为高、中、低三个水平，每个水平有两个班。考虑到结果的可比性，本研究选取了北京市丰台区一所重点中学，该校为民办公质，全校教学班39个，学生总数为1100人左右。研究中随机抽取了8年级的62名学生，男生33人，女生29人。38道测试题目选自经项目反映理论筛选的数学素养试题库。为了不影响学校的进度，测试形式均为随班测试，70分钟的测试时间里，学生几乎都能完成测试题目。测试结束后，我们回收试卷和草稿纸进行分析。

二、案例及其测试结果

在此选择其中考查数与代数素养的问题进行典型案例分析。这个题目的情境属于社会情境，包括三个问题，每个问题分别属于不同的能力层次：问题（1）属于再现层次，问题（2）属于联系层次，问题（3）属于最高能力层次――反思层次。每小题的满分为1分。

案例：A、B、C、D、E五个景点之间的路线如图所示。若每条路线的里程a（km）及行驶的平均速度b（km/h）用（a，b）表示。有的路线是乡村土路，如AD段，时速只能达到40km/h，有的路段是高速公路，如AE段，时速能达到120km/h。路途上平均花费分为油费和高速费两个部分，油费平均为0.5元/km；在D点、E点设有高速公路收费站，分别收费45元、30元。请考虑以下问题：

（1）从景点A到景点B路程最短的路线是( )

Ａ. ACB Ｂ. ADB

Ｃ. AEB D.无法判断

该问题属于再现层次。数学素养测评中，再现层次是指学生能够进行数学测评中出现的简单计算，能够理解定义并进行简单应用。这部分内容包括关于事实或知识的表述、再现、回忆，依据常规方法解决简单问题。在问题（1）中，学生根据问题的信息，读取了（a，b）的含义，将从A至B的三条路线的里程数分别进行计算，对比结果后问题就可以得到解决。

该问题的正确答案为B。中国学生的平均得分是0.919，英国学生的平均得分是0.897。具体到问题的每个选项，中、英两国学生选择的比例分别如下图：

在该问题中，中国学生的得分高出英国学生2个百分点，英国有3%的学生选择A，而中国学生没有人选择A。数据说明了中国学生在解决基础知识方面稍好一些，而且把握知识的准确方面也较强。下面我们再看问题（2）。

（2）从景点A到景点B用时最少的路线是( )

Ａ. ACB Ｂ. ADB

Ｃ. AEB D. 无法判断

该问题的能力水平属于联系层次。学生需要综合考虑由A到B的若干条路线，不仅要考虑路程因素，还要考虑到由于路况条件不同导致平均速度不同，将（a，b）这一数学符号转化为充足的已知条件，继而算出每段所用的时间，最后两段时间相加可以将结果进行比较，找出从景点A到景点B用时最少的路线。在解决该问题时，学生需要分析文字提供的信息、图形提供的信息及符号提供的信息，建立起多种表示之间的相互联系，继而统整信息，把握各条线段的特征。问题的难点在于要将括号中的两个数进行编译，解释其所代表的意义，理解这种数学的语言与自然的语言的关系。因此，该问题要求学生的思维水平和分析能力都要比问题（1）高。

该问题的正确答案为C。中国学生的平均得分为0.710，英国学生的平均得分为0.832。具体到问题的每个选项，中、英两国学生选择的比例分别如下图：

由上图可以看出，英国学生的得分要高出中国学生13个百分点，具有显著的差异。这说明了英国学生在解决较高思维水平的数学问题上具有一定的优势。下面我们再看问题（3）。

（3）从景点A到景点B费用最少的路线是（ ）

A． ACB B． ADB

C． AEB D． 无法判断

该问题的能力水平属于反思层次，处于该能力水平的学生要能够将现实问题数学化，识别并提取包含在情境中的数学要素，然后发展性地甄别相关的数学概念，联系相关的数学知识解决问题，并提出论据进行综合分析论证。在此基础上，学生还要对问题解决的过程、结果、方法进行反思。问题（3）是一个综合性的问题，学生需要对该问题进行数学化处理，将一般的行驶问题提升为费用的问题势必要纳入更多数学因素。费用包括两部分，除了每段所需要的油费外，还要考虑到D点、E点的过路费。把这些综合、复杂的数学因素抽象出来进行分析和解释，对学生的思维水平要求较高。

该问题的正确答案为A。中国学生的平均得分为0.710，英国学生的平均得分为0.785。具体到问题的每个选项，中、英两国学生选择的比例分别如下图：

由上图可以看出，英国学生的得分较中国学生的得分高出8个百分点。这说明了英国学生在解决高水平的数学问题中具有优势。

三、讨论及启示

本研究选择数与代数领域一道综合性的问题考查学生的数学素养，试图揭示中、英学生在数学素养中存在的差异及其原因。该问题虽然是代数题目，但是题干信息包含了几何图形的内容，需要学生综合分析和判断，还要能够准确理解括号内数字的含义，反思整个解决问题的过程，根据计算结果选择最优路线。从某种意义而言，该问题体现了数学素养的重要组成部分――学生的推理能力。两国都非常重视学生的推理能力。中国的《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》中将“推理能力”作为一个重要目标，并强调“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。[1]”英国的《第三学段数学达成目标的计划》（2007）（《Mathematics Programme of Study for Key Stage 3 and Attainment Targets》）指出“用数学推理来构建新知识”“用数学进行推理”是“核心过程”中的一项[2]，其中对数学推理内容进行了非常详细的描述。两国都非常重视培养学生的推理能力，但英国的数学教育对推理能力内涵的界定更宽，认为推理能力既包括我们常说的几何推理，也包括代数推理、数据推理和概率推理。

从上面的测试结果分析可以看出，英国学生在后面两个问题上具有明显优势。由此可见英国学生在解决高层次的问题上要优于中国学生。如前所言，尽管两国都非常重视学生的推理能力，但是英国学生在代数和概率推理方面更具有优势。

通过访谈和课堂观摩发现，英国学生得到较高分数的主要原因有两个。

1.英国学生的信息阅读能力较强。

英国学生具有较强的信息阅读能力，在英国其他学科的学习中，教师常常要求他们进行大量的阅读，数学教学中也常常提供丰富的情境背景，让学生自主分析研究问题。该题目题干较长，信息量大，且比较分散，需要学生仔细提取。在中国传统的数学教学中，“应用题”是学生学习的难点之一，尽管新课程中一再强调模型思想的应用，强调培养学生的问题解决能力，但是学生对大信息量的问题容易产生畏惧而无法坚持将问题解决。

2.英国学生具有多种表征的能力。

由于该问题需要学生综合处理信息继而建立模型，通过多种方式表述问题无疑对解决这个问题有很大帮助。英国学生运用数学进行表征的方式非常多样。在测试后，我们从英国学生的草稿纸中发现，有些学生将问题进行分解，并用框图的形式表达自己的思维过程。下图所呈现的是某一学生的思维框图。

处理复杂综合性的问题时使用多种数学表征手段可以帮助学生分析问题，使自己的思路更清晰，进而准确地解决问题。

尽管样本量较少，仅仅一个问题可能无法说明中、英教育存在的差异，但从该案例研究也可以得到几点启示，供我国数学教育同仁参考。

1.利用数形结合可以提高解决问题的效率。

在对学生的访谈中，有学生表示对问题（1）不是一定要进行运算，在观察图形后学生发现，处于中间位置的ADB这条路线在几何图形关系中是最短的，所以实际道路上它也应该是路程最短的。用这种方法作出判断的学生的几何直观能力和数形结合能力非常强。数形结合作为一种思想，是数学素养的必要组成部分，它体现为“以数解形”和“以形助数”两个方面，中、英两国在课程标准中都强调了这两方面的要求。在分析问题时更多地借助几何直观，有助于把复杂的数学问题变得简化、形象。当然在教学中也要引导学生不要过分依赖几何直观，它仅仅是理解问题的一种途径，学生要在理性分析的基础上合理选择判断方式。

2.解决高水平的问题更需要学生的自我反思。

案例中的三个问题难度逐步提升，如果视其为一个整体的话，这是一个较为综合的高水平的问题，要解决它并不容易，但更重要的往往是运用数学解决之后再返回到实际情境中进行反思、验证。在对学生的访谈中有学生反映，测试的38道题中这个问题最具挑战性，不但考查的内容很丰富，而且解决了问题之后让人反思，给人以启示：由于三种路线的路况不同，导致它们的平均速度不同，这样看起来较短的路线其实并非最快的，路况的不同又决定了高速公路过路费有差异，这样最短的路线和最快的路线却不一定是花费最少的。可见很多生活中的问题都可以提炼为数学问题，用数学可以帮助人们在生活中做决策时，依据实际需要进行选择。

PISA认为数学素养是一种个人能力，是指学生能确定并理解数学在社会（包括自然、社会、个体生活的文化背景）中所起的作用，能作出有根据、有理由的数学判断和能够有效地运用数学[3]。本文借中、英比较的案例管窥数学素养的特征，并在分析两国教学特色的基础上梳理中、英差异产生的原因。数学素养是公民要具备的基本能力，在教学中，我们要重视发展学生的数学素养，让学生在现实情境中发现数学，用数学解决实际问题，学会用多种形式阐释问题，成为有创新精神、有反思能力的社会人。

（作者单位：北京师范大学教育学部）

参考文献

[1]全日制义务教育数学课程标准（修订稿）（送审稿）[S].2011，8.

[2]Mathematics Programme of study for key stage 3 and attainment targets[S].Qualifications and Curriculum

Authority，2007，142.

[3]OECD. Assessing scientific， reading and math literacy. A framework for PISA 2006[R]. 2006，(3):72.