浅析中学数学命题教学中应注意的问题

摘要：数学命题是高中数学课程中的重要内容之一，是数学逻辑与证明的基础，与数学概念、数学推理证明之间有着重要的联系。对数学命题知识的学习有利于数学问题的解决和数学知识的学习。本文主要从教师角度出发，通过对数学命题教学中常常出现的问题以及各种数学资料、论文中出现的问题等的研究，提出如何在教学时有效地进行命题知识的引入，数学命题的整体学习，以及对简易逻辑知识的学习提出了一些建议。

关键词：数学命题；数理逻辑；否命题

中图分类号：G633.6 文献标志码：A?摇 文章编号：1674-9324（2013）33-0113-02

一、什么是命题

什么是命题，高中教材中对命题的定义是：能够判断真假的语句叫做命题。判断分为真假判断，相应的命题就有了真假命题，我们把判断结果为真的命题叫做真命题，把判断结果为假的命题称为假命题。在这里还要注意的是一种形式的判断，它也属于判断，但不是命题，被称为开语句，如“3＞1”和“x＞1”，虽然他们都是判断语句，但是前者是命题，后者由于无法判断其真假，是开语句。根据数学命题的复杂程度可以将其分为简单命题和复合命题。

1.简单命题。简单命题就是不包含其他命题的命题，又可分为性质命题和关系命题两种，性质命题就是判断某事物具有或不具有某种性质的命题。其特点是由主项、谓项、量项和联项构成。主项表示被判断的对象；谓项表示主项的性质；量项表示主项数量，分为全称量项和特称量项，全称量项常用“一切”、“所有”等词语表达，特称量词用“有些”、“存在”等词语表达；联项表示主项与胃项的联系，分为肯定联项和否定联项，前者用“是”、“有”表示，后者常用“不是”、“没有”表示。关系命题是关于断言某些对象与对象之间关系的命题。性质命题与关系命题不是绝对的，比如命题“实数的平方大于零”既可看成关系命题，也可看成性质命题，它是一个全称命题。

2.怎么把一个简单命题写成“若p，则q”的形式。其实任何一个简单命题都可以写成“若p，则q”的形式，这里的 p和q既可以是命题，也可以是开语句，但是“若p，则q”整体就一定构成了一个命题。例如，“若x2+y2=0，则x，y全为0”，这里的p与q就是开语句。其中p是这个命题的条件，q是这个命题的结论。笔者看到有些论文里面写到否命题只针对“若p，则q”形式的命题提出的，而对其他命题不能写出的。其实这个观点是错误的，因为我们在写一个命题的否命题时必须先弄清楚它的条件和结论，而任何一个命题都是有条件和结论的。一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫互否命题，把其中一个叫原命题，另一个命题就叫原命题的否命题。但是其实对于任何一个命题都首先可以还原成“若p，则q”，所以其实任何命题都可以写出其否命题。因此一定会将一个命题，尤其是简单命题写成“若p，则q”的形式。例如，4是偶数，如果把它写成“若p，则q”的形式就是“若一个数是4，则这个数是偶数”。还有一种情况就是学生在把同一个命题写成“若p，则q”时出现多种情况的答案。

3.复合命题。复合命题是由两个或者两个以上的简单命题通过逻辑连接词结合起来而构成的命题。成用的逻辑连接词有以下几种：否定合取、析取、蕴含、等价，形成的命题分别为负命题（非p）、联言命题（p∧q）、选言命题（ p∧q）、假言命题和等价命题。①“非p”命题其实就是对一个命题的否定，但它本身就构成一个复合命题。“非p”命题和命题p是矛盾命题，也就是原命题p为真时，“非p”为假，原命题为假时，“非p”为真。②联言命题（p∧q），即给定命题p、q，用联结词“且”来构成的复合命题“p且q”。这种命题的真假判断当且仅当p和q都是真命题时“p且q”才是真命题，否则为假命题。③选言命题（p∨q），即给定命题p、q，用联结词“或”构成的复合命题。这种命题的判断是当p或q中有一个是真命题是“p或q”就是真命题。④蕴含命题或者假言命题，即把两个命题用“若……则……”的形式连接起来得到新命题，记作pq，其中“若p”表示的是题设，“则q”表示的是结论。当且仅当p真q假时，pq为假，其他情况均为真。⑤等价命题，将两个命题p、q用“当且仅当”连接，构成复合命题“p当且仅当q”，这样的命题称作等价命题。

4.复合命题的判断误区。一般认为，不含逻辑连接词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑连接词所组成的命题是复合命题。但是这样的定义是比较模糊的，如果对于一个命题不加以思考而直接根据其定义去理解常常会引起混乱，矛盾。事实上，不含逻辑连接词的命题不一定是简单命题。比如，命题“棱形的对角线垂直平分”，我们可以把这个命题写成“棱形的对角线垂直且棱形的对角线平分”这样的复合命题。而含有逻辑连接词的命题也不一定是复合命题。因此判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能简单地看文字叙述或组合形式，而要具体情况具体分析。

二、命题的否定

命题的否定其实就是上面在讲复合命题时所说的“非 p”，它是将一个完整的命题p进行否定，而不是对其条件或者结论否定。而对于简单命题的否定和复合命题的否定是有一定区别的，所以在进行命题的否定时首先要根据简单命题和复合命题的判断方法进行判断。再对其进行整体的否定。因此，对于一个命题，如果原命题是真的，那么其命题的否定必然是假的，相反，原命题是假的，命题的否定就是真的。

1.简单命题的否定。简单命题分为性质命题和关系命题，性质命题分为全称命题和特称命题。对于全称命题和特称命题的否定，一般要对“量项”和“联项”同时进行否定，全称量词与特称量词互为否定，即否定全称是特称，否定特称是全称。否定的肯定是否定，否定的否定是肯定。一般的，命题“对所有的x∈U，p（x）”的否定形式是“存在某一个x∈U，非p（x）”；命题“存在某一个x∈U，p（x）”的否定形式是“对所有的x∈U，非p（x）”。在实际的教学过程中，教师应该着重引导学生进行意义上的理解，而不能进行形式化的记忆。

2.复合命题的否定。①“p且q”形式的否定，对于复合命题“p∧q”形式的非命题（或否定命题），可应用德摩根定律进行构造。德摩根定律：?劭（p∧q）?圳?劭p∨?劭q。例如，命题“5是10的约数且是15的约数”的否定命题为“5不是10的约数或5不是15的约数”。原来的命题与其否定命题一假一真、一真一假，它们构成了一对矛盾命题。②“p或q”形式的否定，对于复合命题“p∨q”的非命题（或否定命题），也可应用德摩根定律进行构造。德摩根定律：?劭（P∨Q）=?劭P∧?劭Q。例如，写出命题“a=±5（a是常数）”的否定形式。否定命题：a≠5且a≠-5。③“若p，则q”形式的否定，“若p，则q”形式的命题叫做假言命题，当且仅当p真q假时，此命题是假命题，否则是真命题。对于“若p，则q”型命题的否定，是存在争论较多的一个问题，该命题的否定形式为p∧?劭q，不是若p则非q。例如，写出命题p：“若2+2≠4，则2+3≠5”的否定命题。解：上面给出的法则可知，命题p的否定命题?劭p：“2+2≠4且2+3=5”。在例题中的?劭p决不能写成“若2+2≠4，则2+3=5”。这个命题和p都是真命题，不符合p与?劭p一真一假、一假一真的要求。

数学命题教学是数学教学活动的重要组成部分，是数理逻辑与证明的基础，并与概念、推理之间存在着密切的联系。进行有效地数学命题学习对于学生知识的增长具有重要的意义。但数学命题的相关内容却是比较难掌握的一部分知识，所以教师要尊重学生的主体地位，做好命题的引入，讲解和应用，让学生在理解的基础上加深记忆。