辛对偶体系下薄壁圆柱壳强迫振动响应分析

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摘要：在辛对偶体系下，采用波传播分析方法研究了薄壁圆柱壳在简谐外力作用下的强迫振动响应。首先，通过Hamilton函数将薄壁圆柱壳的振动问题导入辛对偶体系；然后，通过求解辛本征问题建立了具有共轭辛正交性质的波形矩阵，并将物理空间中的问题转换到波形空间中进行描述；最后，结合外力作用处和边界处的位移和内力协调关系，以及圆柱壳轴向的波传播关系，得到圆柱壳任意位置处的波幅表达式。与振型叠加法相比，此方法对高频振动问题具有更高的计算精度和效率。另外，此方法可方便地处理复杂边界条件。算例考虑了不同边界条件的情况，与振型叠加法或NASTRAN的结果进行比较，验证了此方法的有效性。

关键词：强迫振动；薄壁圆柱壳；辛对偶体系；波传播方法

引言

薄壁圆柱壳结构广泛应用于土木、机械、航空航天和海洋等工程领域。近年来，国内外学者针对薄壁圆柱壳在复杂环境动荷载作用下的振动问题进行了大量的研究，发展了许多数值和解析的分析方法。以有限单元法为代表的数值方法通常用于处理结构或边界条件比较复杂的情况，而解析方法能够提供对问题的物理本质的认识，且更容易获得一些规律性的结论，因此更适合对一些基本构件进行机理性的力学分析。在薄壁圆柱壳振动问题的解析方法中，基于梁函数的振型叠加法和基于波传播的方法是最常见的两种方法。

由于薄壁圆柱壳的轴向振型接近相同边界条件梁的振型，因此在使用振型叠加法时，可采用轴向梁函数和周向三角函数的组合形式来描述薄壁圆柱壳的解析振型。王宇等采用振型叠加法研究了薄壁圆柱壳在简谐激励和冲击激励下的响应。Lee等利用振型叠加法分析了两端简支约束的层合薄壁圆柱壳在脉冲激励下的动力学响应。Khalili等研究了有初始压力的复合材料薄壁圆柱壳的自由振动特性和强迫振动响应。由于梁的振型函数仅在两端简支边界条件下才有解析解，而其他边界条件的振型函数需要通过求解超越方程得到；同时当圆柱壳在轴向存在厚度不连续情况时，比如有环肋或者篦齿，则很难确定其轴向振型函数，因此基于轴向梁函数的振型叠加法仅能处理相对简单的问题。另一方面，采用振型叠加法处理结构高频振动问题时需要大量的振型参与叠加，振型的截断可能会导致精度或者计算效率问题。

基于波传播分析的方法也被广泛应用于薄壁圆柱壳的振动问题。zhang等采用波传播法研究了薄壁圆柱壳自由振动特性，并进一步将研究拓展到了充液圆柱壳和水下圆柱壳的情况。Li将圆柱壳的轴向波形采用梁函数来近似，结合波传播法研究了不同边界条件下圆柱壳的振动特性，并对这种方法的精度进行了详细的验证和讨论。Chen等采用波传播方法研究了存在厚度不连续的圆柱壳模型的自由振动和强迫振动问题，考虑了经典边界条件和弹性边界条件等不同的情况。马旭等在波传播分析方法的基A上，采用一种改进的傅里叶级数来模拟弹性约束边界条件下的轴向波形，研究了边界条件对圆柱壳振动特性的影响。基于波传播的分析方法能提供连续体振动的物理本质上的解释，在处理复杂边界条件时有着天然的优势，这是振型叠加法所不具备的。此外，振型叠加法需要同时对周向振型和轴向振型进行截断，而波传播分析法只涉及对周向波数的截断，因此在处理高频振动问题时，后者的优势将更加明显。

考虑到波传播分析方法具有的上述优势，张亚辉等将其与辛状态空问理论结合，提出了针对矩形薄板和板列结构稳态受迫振动问题的辛空间波形展开方法，并将其应用于结构的中高频振动分析以及功率流分析。这种方法不仅具有波传播分析方法的优势，同时还继承了辛方法高精度和高数值稳定性的特点。xu等将圆柱壳在冲击作用下的动态屈曲问题导人哈密顿体系，在辛空间中将临界屈曲载荷和动态屈曲模态归结为辛本征值和本征函数的求解问题，并讨论了临界屈曲载荷的影响因素以及屈曲模态的发生、发展规律。在此基础上，本文将辛空问波形展开方法推广到薄壁圆柱壳强迫振动分析。首先将薄壁圆柱壳的振动问题导人由对偶变量表示的Hamilton体系，然后通过求解本征值问题得到波传播参数和波形，最后通过波的入射、反射以及传播关系得到各波幅的表达式。本文方法在辛对偶体系下进行求解，使得分离变量法及辛本征函数展开的直接解析法得以实施。与振型叠加法相比，本文的方法在处理复杂边界条件方面优势明显，且对于高频振动问题，具有更高的计算效率和精度。