一道高考数学题的物理方法解析

题目（2012年全国大纲卷第12题）：正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=37，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

A.16 B.14 C.12 D.10

这一题是选择题的最后一题，难度较大，当我们发给某重点中学的重点班作答时，也只有少数学生经过作图而大致猜出答案，大部分学生无从下手.从数学角度看，正方形边长上的点E没有大小，从E点出发的直线，没有“宽度”，作图稍有误差，就失之千里，P点就不可能按题意回到E点，所以用作图法解这一题是不靠谱的.那么有没有从理论上找到解决这一题的巧妙方法呢？在反复的讨论中，我们认为当把这一题中的问题转化为一个物理问题，把正方形的四条边当平面镜，P点的运动当光线的传播，就可以简化解题过程，使问题迎刃而解.

图1解析 由于此题提供的情景，跟一束光射到由四面平面镜组成的正方形，并在正方形内不断反射的情景相同.因此，我们可以假设有一条光线，从AB边的点E出发，射进平面镜组成的正方形ABCD中，至BC边的F点，并且AE=BF=37，然后不断在平面镜内反射，直至回到E点.

如图1所示，分别作出法线MF、NG，可得∠MFG+∠FGN=90°，由于反射角等于入射角，所以∠EFG+∠FGH=2（∠MFG+∠FGN）=180°，既得EF∥GH；同理可得FG∥HI.这一结果可以推广为：相邻两块平面镜反射的所有光线与相对的两块相邻平面镜反射的所有光线都相互平行.

四块平面镜围成的正方形空间，可以在四块平面镜中成像，像又可以在平面镜中不断的成像，实际上可以形成一个看上去无限大的空间.

图2如图2所示反射光线GH，经平面镜CD成的像GH′，与GH大小相等，且在FG的延

长线上；反射光线HI，经平面镜AD第一次反射后，再经平面镜DC反射，可以成像H′I′也与HI大小相等，且在FG的延长线上；由此类推，以后每一次经若干次平面镜反射后成的像，都与原反射光线大小相等，且在前一次成像的线段上延长.延长FG至M点，显然线段FM与各正方形边长的交点（F、G、H′、I′等7个交点）也就是反射点；由于相邻两块平面镜反射的所有光线与相对的两块相邻平面镜反射的所有光线都相互平行，所以最后进入E点的光线必然与FM平行，作EN∥FM，同理可得，EN与各正方形的交点（共7个）也是反射点.

在这里，在四块平面镜组成的正方形内的反射光线，在看上去由平面镜不断反射形成的无限大空间里，可以成无数的像，但这些像只会与EF或FG平行，所以MN肯定平行于EF.从图2容易看出，线段FM与线段EN之间的任何两个反射点的连线都不与EF平行，只有MN与EF平行.当MN∥EF时，EBF与NJM全等并与BJK相似，可得

BFBE=NJJM=BKKJ=34

从图2容易看出，BK为3倍的正方形ABCD的边长，KJ为4倍的正方形ABCD边长；设构成图2矩形横线的条数为m，竖线的条数为n，FM和EN与横竖线的交点（反射点）应为：

［（m-1）+（n-1）］×2=（3+4）×2=14

所以应选B.