浅议三角函数中的解析式问题

050030 井陉县第一中学李艳

在学习了三角函数 的图象之后会有一类关于求三角函数解析式的问题，主要涉及两种题型：

1、由函数的图象求解析式

例1：已知三角函数 ，当 时， 取最大值5，当 时， 取最小值-5，求函数的解析式。

析：根据图象提供的已知信息可以确定 等元素，一般来说比较简单；有些题目只是给出相关信息并没有给出具体图象，以例1为例，题目虽然没有明确给出函数的图象，但其实已知条件也是在描述图象的特征，因此属于由函数的图象求解析式。图象中的哪些特征能帮助我们确定 呢？这也是此类题目的重点。

变式：已知三角函数 ，当 时， 取最大值7，当 时， 取最小值-3，求函数的解析式。

析：此题目与例1的差别是多了一个参数k。而A的确定也不如例1具有特殊性。

小结：参数 的确定（设函数 五点法作图中的五个关键点的横坐标依次分别为 ）

--- ---与最值差有关

------五点的横坐标差

------代数方程

------与最值和有关

基础：对图象的特征、性质及五点法作图熟练掌握，并有较深刻的认识。其实，求解析式也进一步深化了对函数图象特征、性质及五点法作图的理解。

另外，求 也可以构造代数方程求解，同样是利用五点法，要熟知五点在图象变换前对应的 上的五点分别是哪个，是构造方程的关键。

当然在求 时，也可构造三角方程求解，但比较后会发现代数方程更简洁方便一些。

2、图象变换中解析式的求解

例2：已知函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，再关于 轴对称得到函数 的图象，求函数 的解析式。

分析：应先化简目标函数为 ，再去求解析式。

方法1：（正向思维）函数 的图象经过图象变换后应为 ，与题目所以目标函数进行对比，得 ，再化简得到函数 的解析式，进而求函数 的解析式；

方法2：（逆向思维）由目标函数 由原变换的逆变换得到的函数应为 ，化简即为 ，与原函数进行对比，得 ，再化简得到函数 的解析式。

基础：对图象的变换引起的函数的解析式的变化应熟悉掌握。

（1）变换与它的逆变换：左平移 右平移量一致

上平移 下平移量一致

伸长 缩短量互为倒数

（2）左右平移——变化；横坐标伸缩—— 变化

纵坐标伸缩—— 变化；上下平移—— 变化；

（3）平移变换法则：左加右减上加下减。

上述归纳为关于求三解函数解析式的两种常见的题型。其实解决这两种题型的过程，也是对前几课时的知识综合应用过程。在这部分内容中对学生的要求较高：熟练掌握三角函数的图象，性质以及各种相关变换；能够灵活应用其性质以及具体特征解决各类问题；同时要求学生有较强的数形结合能力，总之，学好此部分内容对学生学习能力的培养和提高有着极其重要的作用。