例谈圆锥曲线定义在解题中的应用

圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性，也是建立各自方程的依据.然而在教学中发现，学生往往过多依赖方程而忽略定义在解题中的灵活应用.事实上，圆锥曲线的定义对于很多数学问题具有明显的导向作用，利用定义解题，是解决有关问题的重要策略.以下举例说明圆锥曲线定义在解题中的应用.

一、定义法求动点轨迹方程

例1已知A-7，0，B7，0，C2，-12，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一焦点的轨迹方程.

解析：设椭圆的另一焦点Fx，y），由题意得|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|.而|BC|=13，|AC|=15，于是|FB|-|FA|=2，根据双曲线定义可知，F在以A，B为焦点的双曲线的左支上. 这里2a=2，所以a=1，又c=7，所以b2=c2-a2=48，故椭圆的另一焦点F的轨迹方程为x2-y2/48=1（x

点评：本题首先根据椭圆的定义A、B是椭圆上的点得出等式，|FB|-|FA|=2.

这样根据定义先判断出动点F轨迹的类型，再用待定系数法求出轨迹方程.

二、利用定义解决圆锥曲线的简单几何性质

例2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为.

点评：椭圆和双曲线中但凡涉及到曲线上的点到焦点的距离，通常要联系定义解题.

变式训练2：已知点P在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，|PF1|2|PF2|最小值是8a，求双曲线离心率的取值范围.

三、利用定义求最值

例3已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是4，a，则当|a|>4时，|PA|+|PM|的最小值是.

解析：抛物线焦点F1，0，设点P到准线：x=-1的距离为d，由抛物线的定义，d=|PF|.

点评：抛物线上的点到其焦点的距离和到准线距离相等，利用抛物线定义将二者互化，是解决抛物线中最值问题的重要策略.这里根据题意，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出两点间线段最短，使问题迎刃而解.

变式训练3：已知点P是抛物线y2=4x上的动点，F为其焦点，若B（3，2），|PB|+|PF|的最小值是

答案：4

总之，有关圆锥曲线的问题往往运算量大，求解过程比较复杂，但若能正确、灵活地运用圆锥曲线的相关定义去分析解题，往往会使问题化繁为简，提高解题思路的精确率.

[湖北省十堰市第一中学（442000）]