例谈三角恒等变换中的“变角”技巧及其应用

三角恒等变换是高中数学的重要内容之一，历年的高考都有所涉及.三角恒等变换的常用方法包括化弦、化切、变角、生幂、降幂、和积互化等，其中“变角”既是三角恒等变换中的关键，又是学生学习的一个难点.在实际应用中，我们常需要将角做适当变换，配出有关角，便于连接已知角与未知角之间的关系，因此寻找角与角之间的关系是解题的切入点.下面通过对例题的讲解来强化“变角”的技巧及其应用.

一、探究“变角”技巧

例1：已知cos（α+β）=，cosβ=，α，β均为锐角，求sinβ.

分析：把角α看成是角α+β与β的差，即α=α+β-β，再用两角差的正弦公式求解.

解：由角α，β均是锐角，可知0°＜α+β＜180°，sinβ＞0，sin（α+β）＞0，

由cos（α+β）=，得sin（α+β）===，

由cosβ=，得sinβ===，

所以sinα=sin［（α+β）-β］=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=×-×=.

例2：已知tan（α+β）=，tanβ-=，求tanα+.

分析：借助于已知条件，直接运用两角和与差的正切公式可以算出，再利用两角和的正切公式可以得到结果，但计算量大且比较繁琐.实际上，可以把角α+看成是角α+β与β-的差，即α+=α+β-β-，再用两角差的正切公式求解.

解：因为tan（α+β）=，tanβ-=，

所以tanα+=tan（α+β）-β-?摇

=

==.

小结：由上述两例，我们发现第一种变角技巧――“将结论中的角用条件中的角来直接表示”.

例3：已知3sinβ=sin（2α+β），且α≠，α+β≠+kπ，（k∈Z），求证：tan（α+β）=2tanα.

分析：要想从条件推出结论，就应使已知条件中出现结论中的α+β与α，因此想到β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，再用恒等变换变形即可.

解：因为sinβ=sin［（α+β）-α］=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，

sin（2α+β）=sin［（α+β）+α］=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，

所以3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，

即sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.

又因为α≠，α+β≠+kπ，（k∈Z）

所以cosα≠0，cos（α+β）≠0.

所以等式两边同除cos（α+β）•cosα，可得tan（α+β）=2tanα.

例4：已知sinα=nsin（α+β），且|n|＞1，α+β≠+kπ，（k∈Z），求证：tan（α+β）=.

分析：要想从条件推出结论，就应使已知条件中出现结论中的α+β与β，因此想到α=（α+β）-β，再用恒等变换变形即可.

解：因为sinα=sin［（α＋β）-β］=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，

所以sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=nsin（α+β），

即sin（α+β）cos（β-n）=cos（α+β）sinβ，

又因为|n|＞1，α+β≠+kπ，（k∈Z）

所以cos（α+β）≠0，cosβ-n≠0，

所以等式两边同除cos（α+β）•（cosβ-n），可得tan（α+β）=.

小结：上述两例我们用到了“变角”的第二种技巧――“将条件中的角用结论中的角来直接表示”，这一技巧适用于一些恒等式的证明.

例5：求的值

分析：式中出现了7°，15°，8°三个角，观察式子的结构，不难发现要将7°表示为15°-8°，消除角的差异或减少不同角的个数.

解：原式=

=

==tan15°=2-

例6：求证：-2cos（α+β）=.

分析：将等式中的角统一用α+β与β来表示，以消除角的差异，再用恒等变换变形即可.

证：左边=

=

=

===右边

所以-2cos（α+β）=.

例7：已知ABC为斜三角形，求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC.

分析：待证式与两角和与差的正切公式比较都含有正切的和与积因此考虑运用两角和与差的正切公式，另外可以运用A+B+C=π来得到A+B=π-C，借此消除角的差异，再用恒等变换变形即可.

证：在斜三角形ABC中，有A+B+C=π，即A+B=π-C，且A，B，A+B都不等于，所以有tan（A+B）=tan（π-C），即=-tanC，

即tanA+tanB=-tanC+tanA•tanB•tanC，

所以tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC.

小结：上述三例我们用到了“变角”的第三种技巧――“将条件中的一些角用另外一些角表示”，该技巧可以消除角的差异，是三角恒等变换中的一个重要思路.尤其要合理利用三角形的内角和等于带来的“变角”机会.

例8：求的值

分析：注意到10°+20°=30°，从而可以将10°表示为30°-20°，将待求式中的角统一用20°来表示，消除角的差异.

解：原式=

=

=

==

例9：求的值

分析：注意到1=tan45°，从而构造45°与15°两角和的正切公式.

解：因为tan45°=1，所以原式==tan（45°+15°）=tan60°=.

小结：上述两例我们用到了“变角”的第四种技巧――“找特殊角来帮忙”，该技巧适用于角的和差为特殊角的情形，也是三角恒等变换中的一个重要思路.

二、“变角”技巧的简单应用

练习：

1.（2011浙江理6）已知0＜α＜，?鄄＜β＜0，cos（-）=，则cos（α+）=（）

A. B.- C. D.-

提示：α+=+α-（-β）

（答案：D）

2.（2011辽宁理7）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）

A.-B.-C. D.

提示：sin2θ=-cos（+2θ）=-cos2（+θ）=1-2sin（+θ）(答案：A）

3.（2011重庆理14）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则=?摇?摇.

提示：==-=-2cos（α-）

由sinα=+cosα可得，sinα-cosα=，即sin（α-）=.

（答案：-）

4.（2011湖北理3）已知函数f（x）=sinx-cosx，x∈R，若 f（x）≥1，则x的取值范围（）

A.{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}

B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}

C.{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}

D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}

提示：f（x）=sinx-cosx=sin（x-）

（答案：B）

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