利用导数探求与三角函数有关的参数

导数是高中数学的重要内容,其应用十分广泛. 本文拟例说明利用导数探求与三角函数有关的参数问题,以期对同学们的学习能有所帮助.

例1 已知函数f(x)=asin2x-■sin3x,在x=■处取得极值,则a等于 ()

A. ■ B. 1 C. 0 D. -■

解析 f′(x)=2acos2x-cos3x,

f′(■)=2acos■-cosπ=-a+1=0,解得a=1.

故选B.

例2 设f(x)=cosx-sinx,把f(x)的图象按向量a=(m,0)(m>0)平移后,图象恰好为y=-f′(x)的图象,则m的值可以为()

A. ■ B. ■ C. ■π D. π

解析 y=-f′(x)=-(cosx-sinx)′=sinx+cosx=■cos(x-■).

又f(x)=cosx-sinx=■cos(x+■)的图象向右平移■,可以得到y=■cos(x-■)的图象,

a=(■,0),

m=■.

故选B.

例3 过函数f(x)=x+cosx-■sinx图象上一点的切线的倾斜角是θ,则θ的取值范围是()

A. [arctan3,■] B. [π-arctan3,■]

C. [■,arctan3] D. [0,arctan3]∪[■,π)

解析 f′(x)=1-sinx-■cosx=1-2sin(x+■),

f′(x)∈[-1,3],即-1≤tanθ≤3,

θ∈[0,arctan3]∪[■,π).

故选D.

例4 如果函数f(x)=asin2x+bcos2x的图象关于直线x=-■对称,则直线ax-by=0的倾斜角为.

解析 易知函数g(x)=f(x-■)=asin2(x-■)+bcos2(x-■)的图象关于y轴对称,即g(x)为偶函数,

g′(x)=2acos2(x-■)-2bsin2(x-■)为奇函数,

g′(0)=0,即2acos■+2bsin■=0,解得■=-1,即直线ax-by=0的斜率为-1.

故直线ax-by=0的倾斜角为■.

例5 定义在(-1,1)上的函数f(x)=-5x+sinx. 如果f(1-a)+f(1-a2)>0,则实数a的取值范围为.

解析 易知f(x)为奇函数,f′(x)=-5+cosx

f(x)在(-1,1)上单调递减.

f(1-a)>f(a2-1),

-1

例6 已知当x∈[0,1]时,不等式x2cosθ+x(x-1)+(1-x)2sinθ>0恒成立,试求θ的取值范围.

解析 对于不等式f(x)>0(f(x)0(M

由于f(x)=x2cosθ+x(x-1)+(1-x)2sinθ在[0,1]上是连续函数,必有最小值,所以只要求出该最小值大于0时的θ的值即可.

f′(x)=2x(cosθ+sinθ+1)-(1+2sinθ).

当f′(x)=0时,x=■,

所以f(x)的最小值只能在0、1、■处取得,则有

f(0)>0, f(1)>0, f ■>0.整理得sinθ>0,cosθ>0,sin2θ>■.

解得2kπ+■

例7 函数y=2cos(ωx+θ)(x∈R,0≤θ≤■)的图象与y轴交于点(0,■),且在该点处切线的斜率为-2.

(1) 求θ和ω的值;

(2) 已知点A(■,0),点P是该函数图象上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点,当y0=■,x0∈[■,π]时,求x0的值.

解析 (1) 将x=0,y=■代入y=2cos(ωx+θ),得cosθ=■.

又 0≤θ≤■,

θ=■.

y′=-2ωsin(ωx+θ),y′|x=0=-2,θ=■,

ω=2.

(2) 由(1)知y=2cos(2x+■).

又Q是PA的中点,易知点P的坐标为(2x0-■,■).

点P在y=2cos(2x+■)的图象上,

cos(4x0-■)=■.

■≤x0≤π,

■≤4x0-■≤■,从而得4x0-■=■或4x0-■=■.

故x0=■或x0=■.

从以上几例可以看出,利用导数探求某些与三角函数有关的参数问题,不仅能迅速找到解题的切入点,而且还能优化解题过程,提高解题速度,充分显示了导数作为一种解题工具,简洁、明快、高效的巨大威力!