基于有限元法的物体受力变形和应力研究

【摘 要】本文以工程中常见的弯曲悬臂梁作为研究对象，基于有限元分析方法对悬臂梁进行计算模型建立，并求解出悬臂梁在受力后的变形轮廓和应力分布，为其设计和优化提供了验证和指导。结果表明，该悬臂梁在受力时中部位置应力较大，为该工况下的薄弱区域，需要进行局部加强，以防止在使用中发生失效。

【关键词】弯曲悬臂梁；有限元；刚度矩阵；变形；应力；应变

0 引言

物体受力变形和应力分析是工程中的常见问题，它在受力零件设计过程中是不可或缺的重要工作，例如在飞机承力梁、高压导管支架等的设计阶段对其将来在飞行中承受载荷后会出现的变形量、变形后轮廓进行估计以及完成强度校核。这类问题的实质是经典弹性问题，它们的数学模型一般都是一组具有相应边界条件和初值的微分方程，这些微分方程组的解析解能够向我们展示出精确且完整的系统行为，也就是我们所需要的分析结果[1-2]。但由于这些微分方程组的复杂性，我们又往往无法得到它们的解析解，这时我们就需要利用数值方法来求出近似解，这时在系统中各“节点”的数值解近似于解析解。因此我们在使用数值方法进行求解前需要对“节点”和“单元”进行合理划分和定义，也就是“离散化”[2-3]。在此过程之后我们再使用数值解法对问题进行求解。有限元法是工程中常用的一种数值解法，它使用积分方法来建立系统的代数方程组，用一个连续的函数来近似描述每个单元的解，正因为每个单元的边界是连续的，因此整个系统的解可以由每一个单个的解“组装”起来[2-3]。不难理解，当我们所划分的单元趋近于无穷多时，使用有限元法所得的解会趋近于精确解。本文将基于有限元法的基本原理，对具体受力物体进行变形和应力的分析和研究，求解出物体的形变轮廓和相应的应力分布。

1 物体受力工况

图1所示为工程中常见的弯曲悬臂梁。假设该悬臂梁的形状为圆形的四分之一，不考虑悬臂梁自重，所以当不受外力时悬臂梁处于无应力状态。内边半径为r=2.5m，梁厚度为h=0.5m，宽度为0.1m。悬臂梁材料的杨氏模量为75GPa，泊松比为0.3。所受外部拉力为t=40kPa。假设该问题为平面应变问题。

从计算结果不难看出最大的应力发生在悬臂梁的中部位置，该处是此工况下最容易发生失效的部位。为了防止使用中的潜在危险，需要对该区域进行加强，例如增加该处的局部宽度；相对来说悬臂梁的固定端和尖端位置应力小很多，这些区域在此工况下比较安全。

5 结束语

有限元分析方法在当今基础理论研究和工程领域得到了广泛的应用，全世界每年有数十亿美元被花费在有限元分析工作中。本文基于有限元方法，选取工程应用中常见的弯曲悬臂梁作为研究对象，建立了计算模型，通过完整的分析和求解过程，最终得到其受力后的变形轮廓以及应力分布，为该悬臂梁的工程设计和优化提供了验证和指导。文中所展示的分析方法在工程设计中具有很高的实用性，可以将其作为一套有效的工具来为各种受力零件和结构的设计提供支持。

【参考文献】

[1]王崧，刘丽娟，董春敏.有限元分析――ANSYS理论与应用[M].北京：电子工业出版社，2011.

[2]Y.C.Fung， Pin Tong. Classical and Computational Solid Mechanics[M]. Singapore： World Scientific， 2001.

[3]Jacob Fish， Ted Belytschko. A First Course in Finite Elements[M]. England： Wiley， 2007.