试论非正弦条件下的功率定义

在引入电力电子负载之前，电力线上的负荷只有三种：电阻、电容和电感。当这些负载又都是线性元件时，电力系统保持着“一种纯洁的净化环境”：在正弦电压作用下，只有正弦电流产生。在“净化环境”中，电工学中所定义的电流、电压、有功功率、无功功率、视在功率、功率因数等概念都是十分清楚的、单义的。

但从一开始，电力系统中非线性负荷总是不可避免地存在着。例如，在饱和条件下运行的变压器等，它们的存在使得在正弦电压作用下的负载电流发生了畸变，电流中包含了丰富的谐波电流。而这些高次谐波电流在电力线或电力负荷上又形成了高次谐波电压，这就使得电工学在正弦条件下的定义产生了混乱，原来的传统定义必须作出相应的补充或修改。

一、正弦条件下的功率定义

1.正弦交流电路的瞬时功率

设电压、电流分别为：

u=Umsin（?棕t+?渍u）i=Imsin（?棕t+?渍i）（1-1）

则电路的瞬时功率为：

p=ui=Umsin（?棕t+?渍u）Imsin（?棕t+?渍i）

=■［cos（?渍u-?渍i）-cos（2?棕t+?渍u+?渍i）］

=UIcos?渍-UIcos（2?棕t+?渍u+?渍i） （1-2）

其中Um、Im分别为电压、电流的有效值，?渍=?渍u-?渍i是电压u和电流i的相位差。

瞬时功率p随时间t变化的波形如图1所示，该波形图表明，瞬时功率p的数值有正有负。u、i取关联参考方向，u、i同正或同负时，p>0，在该段时间内，电路从电源吸收电功率。反之，当u、i异号时，p

图1电压、电流、瞬时功率波形图

2.正弦交流电路的有功功率和无功功率

网络实际吸收的有功功率，即平均功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值：

P=■■pdt=■■UI［cos?渍-cos（2?棕t

+?渍u+?渍i）］dt=UIcos?渍（1-3）

有功功率反映了电路中电阻元件消耗的功率，单位为W或kW。交流电路的功率，不仅与电压、电流有效值有关，还与电流、电压之间的相位差?渍=?渍u-?渍i有关。

无功功率反映了电路中储能元件（电感和电容）与电源之间互换能量的大小，因为瞬时功率：

P=UI[cos?渍-cos（2?棕t+?渍u+?渍i）]

=UIcos?渍{1-cos[2（?棕t+?渍u）]}-UIsin?渍sin[2（?棕t+?渍u）]

=UIcos?渍-UIcos?渍cos[2（?棕t+?渍u）]

-UIsin?渍sin[2（?棕t+?渍u）]（1-4）

式（1-4）中前一部分UIcos?渍{1-cos2（?棕t+?渍u）}和电阻上的瞬时功率相同，其平均值是电阻的有功功率，又叫平均功率；后一部分UIsin?渍sin[2（?棕t+?渍u）]和电抗上的瞬时功率相同，反映了电抗和电源之间能量的交换情况，因其平均值为零，所以规定用最大值来描述这部分交换的能量，定义为无功功率，即： Q=UIsin?渍 （1-5）

单位是乏（var）或千乏（kvar）。

图2电力线路模型

无功功率有正负之分，对于感性负载，φ>0，Q为正值；对于容性负载，φ

（1-6）

在高压电力系统中，线路电抗远远大于线路电阻，因而上式可写成：

■i≈Uj+■+j■ （1-7）

电压■i还可表示为：

■i=■i+cos?啄+jUisin?啄（1-8）

其中?啄为线路两端电压的相位差。

比较式（1-7）与（1-8）可以得到：

P=■sin?啄（1-9）

Q=■Uj（1-10）

正常运行时输电线路两端电压的相位差?啄比较小，可认为cos?啄≈1，则线路中传输的无功功率大小与线路两端电压有效值之差成正比，无功功率从节点电压高的一端流向电压低的一端，所以，电力网中的无功潮流的变化会引起电压变化。如果由远处电源经输电线路向负载输送无功功率，不仅会使沿线各点电压下降，同时也会增加线路和变压器的有功和无功损耗。

3.正弦交流电路的视在功率和功率因数

视在功率用来表示电气设备容量，数值上等于额定电压与额定电流的乘积，用S表示，即： S=UI（1-11）

单位为伏安（VA）或千伏安（kVA）。

电路阻抗角的余弦，或电路电压与电流相位差角的余弦定义为电路的功率因数。

cos?渍=cos（?渍u-?渍i）（1-12）

视在功率反映了电源设备可能向负载提供的最大有功功率。在实际工作中，电源到底能向负载提供多少有功功率，可以用功率因数表示：

Ｐ＝ＵＩcos?渍=Scos?渍（1-13）

所以功率因数又表示为：

cos?渍=■（1-14）

4.三相电路的功率

三相电路无论平衡与否，总有功功率都应等于各相有功功率之和，即：

P=PA+PB+PC=UAIAcos?渍A+UBIBcos?渍B

+UCICcos?渍C （1-15）

式中，Ui为相电压的有效值；Ii为相电流有效值；φi为阻抗角，即各相相电压与相电流的相位差；cosφi为各相负载的功率因数（i=A，B，C）。

在三相平衡电路中，由于

UA=UB=UC=UP，IA=IB=IC=IP，

φA=φB=φC=φ（1-16）

所以总的有功功率为：

P=PA+PB+P=UAIAcosφA+UBIBcos?渍B

+UCICcos?渍C=3UPIPcosφ（1-17）

无功功率为：

Q=QA+QB+QC=UAIAsinφA+UBIBsin?渍B

+UCICsin?渍C=3UPIPsinφ （1-18）

视在功率、功率因数为：

S=■=3UPIP（1-19）

?姿=■=cosφ（1-20）

当三相电路非平衡时，只能分别计算每一相的有功、无功和视在功率，然后三相相加得出总的有功、无功和视在功率。

二、非正弦电路的无功功率定义及分类

正弦电路中瞬时无功功率为：q（t）

=-Qsin（2ωt+2φu），在一个周期的部分时间内，储能元件从电源吸收能量，另一部分时间内将能量返回电源。理想的无损失储能元件在整个周期平均功率是零。也就是说，在外电路和电感或电容之间虽有能量的来回交换，但储能元件上并没有能量的消耗，所以，无功功率与负载性质相关联。如果负载为纯电阻，则只消耗有功功率，没有无功功率的交换，功率因数应为1。当电压或电流中含有谐波，或三相电路非平衡时，功率现象比较复杂，正弦条件下的功率概念无法正确地对某些现象进行解释和描述。在含有非线性元件的电路中，电源除了提供有功功率外，还要提供一部分无功功率以维持非线性元件的正常工作。所以，电压或电流为非正弦波时，已不能用负载的性质来定义是否消耗或吸收无功功率，需要赋予无功功率新的定义，使非线性电路中功率现象得到合理解释。

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根据功率定义适用范围，可将现有的功率理论分为三类：第一类适用于谐波和无功功率的辨识（包括谐波源的确定、对谐波和无功功率流动的理解），以频域法定义、时域法定义为代表；第二类适用于谐波和无功功率的补偿和抑制（包括谐波和无功功率的控制、装置的原理和设计），以瞬时无功功为代表；第三类适用于仪表测量和电能的管理、收费等。

1.第一类无功功率定义

（1）频域表示法定义

在电网中，如果一个端口的电压和电流都含有谐波，可将电压和电流写成傅立叶级数形式：u（t）=■■Uksin（k?棕t+?琢k），

i（t）=■■Insin（n?棕t+?茁n）（2-1）

式中，k和n均为正整数，Uk为电压第k次谐波有效值，In为电流第n次谐波有效值，ak是电压第k次谐波的初相位，βn是电流第n次谐波的初相位，u（t）和i（t）具有相同的基波频率。

C.Budeanu的经典功率定义（频域表示法）如下：

电压有效值：U=■，电流有效值：Ｉ=■，瞬时功率p为一个端口的瞬时电压与瞬时电流之积：p=u（t）gi（t）=■■Uksin（k?棕t+?琢k）g■■Insin（n?棕t+βn） （2-2）

有功功率P为一个周期内瞬时功率的平均值，由式（2-2）可得：

P=■■pdt=■UnIncos（?琢n-βn）（2-3）

由此可见，非正弦周期量的平均功率等于基波和各次谐波构成的平均功率之和，也就是说，仅有同频率的电压和电流才构成有功功率。

视在功率S为一个端口的电压有效值与电流有效值之积，即：

S=UgI=■（2-4）

功率因数cosφ为有功功率与视在功率之比值，同公式（1-14）。

仿照上述有功功率计算公式，无功功率为：

Q=■Qn■UnIncos（?琢n-βn）（2-5）

显然这时S2=P2+Q2。于是Budeanu引入了畸变功率D，使得S2=P2+Q2+D2或者D=■。

（2）时域表示法定义

Fryze关于无功功率的定义基于以下原理，设i（t）、u（t）均含谐波，假定有功电流分量iP（t）的形状和u（t）的形状完全相似，其比例系数为G，且在一个周期内的“u（t）・iP（t）的平均功率和“u（t）・i（t）”的平均功率相等，从而可以唯一确定有功电流分量iP（t）的函数。其物理意义是先用一个线性电阻来等值有功电流，余下的电流定义为无功电流，即无功电流分量iq（t）是全电流i（t）和有功电流ip（t）之差。由定义知，有功电流可以表示为：ip（t）=Gu（t），且有

P=■■u（t）gi（t）dt=■■u（t）giP（t）dt（2-6）

即■u（t）giP（t）dt=0，■iP（t）giqdt（2-7）

则：I2=I2P+I2q，IP=■■■，

Iq=■（2-8）

所以，有功功率P为：P=■■u（t）gi（t）dt

=■■u（t）giP（t）dt=UgIP（2-9）

无功功率Q为：Q=UgIq （2-10）

视在功率S为：

S=UgI=Ug■=■ （2-11）

功率因数cosφ为有功功率与视在功率之比值，同公式（1-14）。

此时视在功率、有功功率和无功功率满足关系S2=P2+Q2。

2.第二类无功功率的定义

第二类功率理论是以谐波和无功功率的补偿和抑制为主要目的提出来的。时域法也可归为第二类无功功率定义，前面已介绍了Fryze的时域法定义，这里就不再重复。

Akagi瞬时无功功率理论，1983年，H.Akagi等人完全从补偿的角度出发，在三相电路中引入了瞬时无功的概念。

设三相电路的瞬时电压和瞬时电流分别为“ua，ub，uc，ia，ib，ic，经Park变换到正交α-β坐标系上，得到两相瞬时电压uα，uβ，和两相瞬时电流iα，iβ，提出了瞬时无功功率的定义和电流分解的方法及理论。

uαuβ＝■1 -■ -■ 0■ -■uaubuc

iαiβ＝■1 -■ -■ 0 ■ -■iaibic

在α-β坐标系中，Akagi将瞬时实功率定义为：

p=uαgiα+uβgiβ（2-12）

瞬时虚功率矢量定义为：

q=iα×uβ+iβ×uα（2-13）

设αβγ为相互垂直的右手坐标系，则qr与γ轴重合，定义qr在γ轴上的投影q为瞬时虚功率：q=uβiα-uαiβ（2-14）

则瞬时实功率和瞬时虚功率可以用α-β坐标系上的电压uα，uβ，和电流iα，iβ，表示为：pq=uαuβuβ-uαiαiβ （2-15）

将瞬时无功功率理论的矩阵形式写成反变换形式并分解如下：

iαiβ=uαuβuβ-uα pq=uαuβuβ-uα

p0+uαuβuβ-uα 0q=iαpiβp+iαqiβq（2-16）

式中iαp，iβp，iαq，iβq分别定义为α和β相的瞬时有功电流、瞬时无功电流，如图3所示。定义。α、β相的瞬时有功功率、瞬时无功功率分别为pαp、pαq、qβq、qβq与瞬时功率pα、pβ的关系：pα=pαp+pαq，pβ=pβp+pβq，pαp+pβp=p，pαq+pβq=0（2-17）

可见，各相瞬时无功功率对总的瞬时功率（瞬时实功率）没有任何贡献，而是只在各相间相互传递。这正是Akagi给出瞬时实功率、瞬时虚功率及各相瞬时无功功率、瞬时有功功率定义的依据。

将α、β相中的瞬时有功电流iαp，iβp，逆变换可得三相电路中各相的瞬时有功电流；将α、β相中的瞬时无功电流iαq，iβq逆变换可得三相电路中各相的瞬时无功电流。

iapibpicp＝■1 0-■ ■ -■ -■＝iαpiβpiaqibqicq＝■1 0-■ ■ -■ -■＝iαqiβq（2-18）

上面两式说明，在α-β坐标系中瞬时有功电流和瞬时无功电流与三相电路中各相的瞬时有功电流和瞬时无功电流间的关系。如检测出α、β相中的有功电流和无功电流，就可以通过逆变换算出三相电路中各相的相关电流。

该定义的提出解决了谐波和无功功率的瞬时监测及不用储能元件实现谐波和无功补偿等问题，对谐波和无功补偿装置的研究和开发作出了很大的贡献。在电压和电流均为正弦对称时，瞬时实功率和瞬时虚功率正好等于传统功率理论中三相电路有功功率和无功功率。所以，瞬时无功功率理论包容了传统的无功功率理论，比传统理论有更大的适用范围。

三、总结

Budeanu的频域法定义通过傅立叶级数，将电压、电流进行了傅立叶展开，定义了每次谐波的无功功率，具有清晰的物理意义，表示同频率电压、电流正弦波分量之间产生的无功功率分量，但每次谐波分量频率不同，且可能有不同的相角，因此，该和并不能表达整个瞬时功率的可逆分量，不能准确反映非正弦系统中电源与负载间能量往返的规模，所以，它们之和Q失去了其代表的物理意义。

S.Fryze的时域功率定义没有进行傅立叶展开，能测量包含同频正交无功功率和异频畸变功率的总和，比Budeanu的频域无功功率更合理地反映无效功率的传送，在实际中也容易得到应用。但不能提供改善功率因数到何种程度的信息，不能反映电流方向和负载的相关性质，因此，也无助于对谐波和无功功率的监测、管理和收费。

Akagi的瞬时无功功率理论从瞬时的角度对三相能量分布进行了优化，以确保瞬时传输能量损失的最小，而从周期的角度考虑则未必是最小。同时该理论仅适用于三相电路不含零序分量的场合。基于线路损耗的通用瞬时无功功率理论，是从周期角度考虑，基于最小传输能量损失的概念，提出目标函数进行优化，得出了一种通用瞬时功率理论。这种理论的数学模型很完美，但目标函数不易求解，而且在这种功率定义中，始终没有对功率因数这个工程上很重要的概念给出定义。同时针对不同的电路要给出不同的目标函数进行优化求解，无法给出统一的表达式，因而失去了“通用”的意义。

作者单位：

华北电力大学电气与

电子工程学院

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