“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈

【摘要】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在数学教学过程中，处处渗透着数形结合的思想。本文试从“以形助数”、“以数辅形”两个方面，举例说明“数形结合”在数学教学中的应用，重点列举了在解集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等问题中的应用，藉此引起广大数学教师对“数形结合”的重视。

【关键词】数形结合 数学教学 以形助数 以数辅形

数形结合思想，通俗讲就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法。华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。 数缺形时少直观， 形少数时难入微。”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化 。因此，数学教学中突出“数形结合”思想才是充分把握住了数学的精髓和灵魂。

数学教学中数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”把直观图形数量化，使形更加精确。下面笔者尝试从集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等方面分别例举“数形结合”思想在数学教学中的应用。

1.以形助数

1.1 数形结合思想在集合中的应用。

对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决。

例1：有48名大学生， 每人至少参加一项公益活动， 参加乡村支教、敬老院服务、清扫街道的人数分别为28，24，15，同时参加乡村支教、敬老院服务的有8人，同时参加乡村支教、清扫街道的有5人，同时参加敬老院服务、清扫街道的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人？

分析： 一般用圆来表示集合， 两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。 利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。

1.3 数形结合思想在方程与不等式中的应用。

1.4 数形结合思想在线性规划问题中的应用。

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

1.5 数形结合思想在解决数列问题中的应用。

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

2.以数辅形

2.1 数形结合思想在解决解析几何问题中的应用。

解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

2.2 数形结合思想在解决立体几何问题中的应用。

立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

小结：应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置。其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算。

综上所述我们可以看出， 数形结合的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，能扬长避短。因此在数学教学中只要我们善于运用数形结合思想来解题，就可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，一定能取得事半功倍的效果。

参考文献

[1] 段养民.《初等数学解题思想方法技巧》（第2版）.陕西：陕西师范大学出版社，2009.

[2] 刘华祥.《初等数学教学论》（第3版）.武汉：武汉大学出版社，2003.