数形转化易理解,结合运用促提升

[摘 要] 初中数学的教材中开始出现几何与代数综合型的题目，这对学生数形结合能力提出了较高要求. 如何做好初中数学教学这一学生数形结合能力培养的重要阶段，成为许多教师思考的问题，笔者基于此，就如何有效开展数形结合教学，提出建议.

[关键词] 初中数学；数形转化；综合运用

初中数学是学生数学学习的转型阶段：这一阶段，学生思维能力迅速发展，思维模式开始转型，抽象思维能力大大增强；与此对应，初中数学几何概念开始大量引入，与代数知识共同撑起初中数学的知识王国. 在经过一定阶段的学习之后，初中数学代数、几何知识开始杂糅，并化身为各类题型出现在学生面前. 这类题型因为综合性强，对学生的思维转化能力和数学观察能力要求较高，许多学生对其常常无计可施，因此，引导学生熟悉数形转化关系、培养数形结合能力成为许多教师关注的重要课题. 笔者总结多年数学一线工作经验，认为要进行初中数学数形结合有效教学，可从以下三方面入手.

■ 数转形，化繁为简帮助直观理解

数是数学中最基础的概念，学生从学前就开始接触大量的数. 而到了初中阶段，数、实数等代数概念开始进入学生视野，这时学生所学习的数就变得复杂和抽象. 这些从直观数字现象高度抽象概括的数学概念，对于初中生而言，是一个不小的挑战. 在概念的具体化和运算化的过程中，学生常常出现审错题、会错意、算错数的情况. 要有效解决这样的情况，需要教师充分引导学生进行数转形的训练：我们知道，图形是直观的、清晰的、易于理解的，将代数概念中的数学关系利用图形来表示，可以为学生的数学思维转化提供一个良好的载体，化繁为简，提高学生的解题效率. 不过值得指出的是，在数转形的教学引导中，教师应注意两个问题：其一，并不是所有的代数题都需要数转形，教师要帮助学生区分何时该数转形，何时可以直接用数学思维求得答案. 而一味地进行数转形，不加辨别，同样不利于数学学习和发展. 其二，在“数”转“形”的过程中，根据题型不同，所进行的转化也是不一样的，错误的数转形运算，不仅不能促进问题解决，反而会对原有解题思路造成破坏性影响. 因此，引导学生合理选择转化对象和方式，同样是每位教师需要关注的.

例如，教学苏教版初中数学八年级下册“一元一次不等式”时，笔者在黑板上给出了这样一道不等式组：

3x-2≥x+3，2x-3≤x+4，

让学生进行解答. 学生刚接触不等式，对于不等式的知识点还不是很熟悉，对于不等式组的解答更是缺乏概念，不一会儿就有学生举手问：“老师，这道题会不会出错了，x一下子大于等于，一下子小于等于，该怎么做呢？”显然，学生还不能理解不等式组解得的是一段数字区间这个数学概念，此时教师如果直接告诉学生：“同学们，你们求得的答案x≥■且x≤7就是答案，将二者组合一下，即■≤x≤7就行了”，笔者认为学生同样可以通过模仿和记忆，掌握这个做法，但学生是否理解不等式组所得答案的概念就不得而知了. 因此，笔者在黑板上画出数轴，将x≥■和x≤7的区间标注出来，画出重合部分，并引导学生：“如果小红要吃至少■颗糖果，小青最多吃不超过7颗糖，那给多少糖果可以让他们两个都满意呢？”学生看着黑板思考，笔者画出数轴上重合的部分：“这些就是所有可以让她们都满意的糖果数. 在这个范围里的数都符合题意. ”通过这样画数轴进行数转形，可以帮助学生化难为易，理解题意，解决部分代数题难以用语言清楚解析的问题.

■ 形化数，抽丝剥缕促进数据提取

几何是将具体数量关系进行抽象化之后，再具化表现的结果. 初中数学的几何问题以平面几何为主，如何在二维平面中有效提取数量关系，并进行解答，是我们数形结合教学的重要目标之一. 初中生在形化数过程中可能碰到这些问题：对于图形性质不了解，无法通过图形性质获得数量信息；对于图形中隐藏的条件，缺乏辨知能力，无法从图形中有效提取隐藏数据完成运算. 针对这样的问题，教师在教学过程中，要有效引导学生理解图形性质、掌握图形定理，在理解的基础上识记；要引导学生通过图形转化、构图法等方式，获取隐藏在图形中的数字密码，抽丝剥缕，提取对解题有益的数据.

例如，教学苏教版初中数学九年级下册“锐角三角函数”时，笔者出了这样一道题：“已知ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，连结AD，已知∠BAD=30°，CD=3，求ABC的周长. ”这道题目是典型的几何类数量运算题，学生需要画图，并从图形中提取有效信息进行解答. 而根据学生形化数能力的不同，解决问题的方法也不尽相同. 像形化数能力一般的学生，可能会这样解答：“因为点D是BC的中点，CD=3，所以BD=3. 又因为∠BAD=30°，所以通过解三角函数，分别可以求出AD和AB的长度. 又因为ABC是等腰三角形，BC是底边，所以AB=AC，最终求出答案. ”这样的方法并没有错，但是因为形化数能力不强，不能从图形中提取最有效的数据，导致计算过程复杂、烦琐，影响解题效率. 对于形化数能力强的学生，当他们看到“ABC是等腰三角形且D是底边BC的中点时，就知道根据等腰三角形三线合一的性质，AD既是中线也是角平分线. 因为∠BAD=30°，所以∠B=60°. 由此可以推出ABC是等边三角形. 又因为点D是BC的中点，CD=3，所以BC=6. 最后ABC的周长就能轻松求出了.”可见，“形”化“数”能力的培养，对于学生数学综合能力的提高具有重要意义；而形化数能力培养的关键是学生对于图形的理解和掌握程度，所以教师应加强这方面的引导，推动初中数形结合教学的深入开展.

■ 数形合，相互转化提高数学能力

无论是数转形的引导，抑或是形转数的教学，最终的目的都是提升学生的数形结合能力. 数学本身就是一个数量和图形紧密相连、相互依存的学科，著名数学家华罗庚就曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微. ”可见数形从来不可分割，它们是同一整体的不同方面，数形结合能力是学好数学的基础能力. 初中数学几何知识概念引入之后，我们才真正开始抽象化、概念化数学知识，而之后的程度将会不断加深，因此，在这一阶段培养好学生的数形结合能力是十分有益且非常必要的. 初中数学数形结合，多以数转形和形化数题型为主，数形多次结合、不断转化的题型虽然不多，但十分重要. 尤其是二次函数的相关知识引入之后，对学生的能力提出了较高的要求；同时这些知识对于学生之后的数学学习意义重大，教师应该十分重视，认真引导.

例如，笔者在“二次函数”的教学中出了这样一道题：直线l过x轴上的点C（4，

0），与一条抛物线y=ax2相交于A，B两点，已知A的坐标为（2，2），求直线和抛物线的解析式. 学生阅读完题目之后，首先必须根据题目所给条件，进行数形转化，画出对应的图形. 这一步十分关键，图形的准确与否，直接关系到之后解题的正确性，这里要特别注意引导学生确定抛物线的开口方向以及直线的位置. 之后笔者引导学生观察画出的图形，由图形就能清楚地看到A和C是直线l上的两个点，之后再引入直线解析式公式y=kx+b，进而求出l的解析式为y=-x+4，又由图形可以看出抛物线经过坐标A（2，2），从而求出a的值，最后确定抛物线的解析式. 这是一道比较简单的数形结合题，但从中我们可以发现，数形结合教学的基础是学生是否准确掌握数和形的基本概念、公式、定理，教师进行数形结合教学首先要指导学生学好基础知识，在基础上提高，掌握数形结合解题能力.