浅述几何概型

摘 要：由于新课改北师大版高中数学教材中，对几何概型的介绍相对较少，因此几何概型总让人觉得晦涩难懂，不像古典概型那样清晰规范。在这样的实际背景下，就几何概型的定义及常见题型和易错题型做了简单的分析、叙述。

关键词：几何概型；概率；计算

一、几何概型的含义及计算公式

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability），简称为几何概型。在几何概型中，事件A的概率计算公式为：

P（A）=

对几何概型的认识和理解要不同于古典概型。因为在古典概型中，概率P=0的事件一定是不可能事件，而对几何概型而言，即使某事件的概率P=0，该事件仍有可能发生（在[0，1]中任选一数，该数为1的概率为0，显然，这并不是不可能事件。）；同样的对几何概型而言，概率P=1的事件也不一定就是必然事件。表面上看这是由于基本事件的个数与区域测度的计算方法不同所致，其实根本原因就是离散与连续的不同。

二、几何概型的常见类型

1.“长度”化类型

例1.若一根绳长为3米，在任意位置剪断，则剪得的两段绳长都不少于1米的概率是多少？

解：记剪得两段绳子的长都不小于1米为事件为A，如图1，把绳子三等分，于是当剪断位置处在第二段（中间一段）时，事件A发生，由于中间一段的长度等于绳长的 ，所以事件A发生的概率为 。

P（A）= =

2.“面积”化类型

例2.两人相约在8∶00至9∶00之间会面，并且先到者必须等候另一人20分钟方可离去。如果两人出发是各自独立的，在8∶00至9∶00各时刻见面的可能性相等，求两人在约定的时间内会面的概率。

解：设两人分别在8：00之后的x分钟和y分钟到达见面地点，记A为两人能成功面这一事件。要使两人能在约定的时间范围内会面，当且仅当|x-y|≤20分钟。如图2正方形区域ω={（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}表示两人到达会面地点的所有可能结果形成的区域。阴影部分的范围表示两人能在约定的时间内会面的结果形成的区域，所以两人在约定的时间内相遇的概率是：

P（A）= =

图2

3.“体积”化类型

例3.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各个面的距离都不小于1的概率为多少？

解：如图3所示，所有基本事件组成的区域就是正方体ABCD-A1B1C1D1组成的封闭几何体，则以正方体的中心为中心，棱长为1的小正方体围成的区域

符合题中的要求，从而其概率P= 。

通过以上简单例题我们可以看出，处理几何概型问题的一般步骤为：（1）根据题意，准确分析出事件对应的几何量所表示的区域。（2）计算出对应的测度。（长度、面积、体积）（3）根据几何概型的概率计算公式求出比值。由于几何概型是基本事件为无限且连续条件下的等可能概型，有限无限的判断显而易见，因此把基本事件转化为等可能条件的几何量就自然而然成为几何概型问题的关键所在了。

三、几何概型中的易错题型

例4.函数f（x）=x2的定义域为（-2，3），则函数值在[0，1]内的概率是多少？

错误解法：函数的值域为[0，9），其区间长度为9，而[0，1]区间的长度为1，因此，函数值在[0，1]内的概率为P= 。错误的原因是，值域取值不满足等可能性。

正确解法：定义域为（-2，3），其长度为5，而函数值在[0，1]的自变量x取值的区间为[-1，1]其长度为2，因此，函数值在[0，1]的概率为P= 。

在不确定是以自变量长度为准还是以函数值的长度为准时，可以举特例来感受到底谁满足等可能性。如：f（x）=x，x∈（0，1）0，x∈（1，2），则，函数值为0的概率是多少？显然函数值的取值是非等可能的。这样就避免犯错了。

例5.如图4，在直角三角形ABC中，A=30°，过直角顶点C作射线CM，交线段AB于点M，则使得AM>AC的概率是多少？

错误解法：设以A为圆心，AC长度为半径的圆交线段AB于点D，则此时射线的位置使得AM=AC，因此当交点在线段BD内时，就满足AM>AC，此时BD=AB-AC。从而AM>AC的概率为P= 。错误的原因是此随机试验是以角度为变量，而不是以线段的长度为变量。这类问题很多资料都有解释，观点也各有不同，根本原因还是随机试验本身不同，最典型的例子就是贝特朗悖论，各种算法都没有错，只是随机试验不同而已。最能说清问题的做法是把例5中，“作射线CM”改为“在线段AB上取点M，使得AM>AC”，这样变量的选取问题就豁然开朗了。

正确解法：设以A为圆心，AC长度为半径的圆交线段AB于点D，此时射线的位置满足AM=AC，当射线CM在∠BCD时就满足AM>AC，此时，∠BCD=150，从而AM>AC的概率为P= = 。

参考文献：

盛骤.概率论与数理统计[M].高等教育出版社，2001.