时间：2022-10-13 01:57:35
摘要：线性方程组作为线性代数的重要工具，贯穿于线性代数的始终，本文在介绍线性方程组解的结构理论知识后，根据行最简形矩阵的特点，给出求解线性方程组通解的几种快速易掌握的方法。
关键词：线性方程组 行最简形矩阵 通解
中图分类号：G642.41 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.23.149
线性方程组作为线性代数的起源，是刻画线性代数各种概念的一个重要工具，同时也是解决各类问题最基本最常见的一个工具，对于研究诸多线性关系、线性变换问题起着举足轻重的作用。对于线性方程组本身而言，需要对方程组的表示方式、解的判定、解的结构、解的求法、解的表示都有清晰透彻的理解和掌握，才能灵活运用到学科本身以及解决其它学科的各类问题。
在方程组有解时，解的情况只有两种情形：有唯一解或有无穷多个解。对于唯一解的情形，没有解的结构问题；对于无穷多解的情形，需要讨论解与解的关系问题，是否可将全部的解由有限多个解表示出来，即解的结构问题。根据向量空间的知识以及解的性质容易掌握解的结构理论，目前在教学中凸显的问题是，学生在求解具体的方程组时，难以快速准确地写出通解，即求解线性方程组的通解表示需要进一步清晰简单化。本文将根据线性方程组解的结构理论，利用行最简形矩阵的特点给出线性方程组（主要是非齐次线性方程组）通解的几种快速简单的求法。
1 基本知识[1]
1.1 线性方程组
由n元一次方程构成的方程组叫线性方程组。
（1）
1.2 非齐次线性方程组
在（1）中，右端常数项不全为零，这种方程组叫非齐次线性方程组，记作Am×n=b（b≠0）。
1.3 齐次线性方程组
在（1）中，右端常数项全为零，这种方程组叫齐次线性方程组，记作Am×nX=0。
1.4 行最简形矩阵
矩阵中若有非零行，则非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零。
1.5 齐次方程组Am×nX=0解的结构
在Am×nX=0中，若（A）=r
X=k1X1+k2X2+…+kn-rXn-r。
1.6 非齐次方程组Am×nX=b解的结构
在Am×nX=b中，若（A）=秩（Ab）=r
2 非齐次方程组通解求解方法
根据方程组解的结构，下面只讨论非齐次线性方程组的通解。当Am×nX=b有无穷多解时，只需求其一个特解，再求出其对应齐次线性方程组Am×n=0的一个基础解系，即可写出通解。下面根据解的结构理论，结合常规求解方法给出非齐次线性方程组Am×n=b的几种易懂快速求解方法。
2.1 常规法
①将Am×n=b的增广矩阵（Ab）化为行阶梯矩阵，判断解的情况；
②若有无穷解，再化为行最简形矩阵，秩（Ab）=r
③Am×n=0基础解系所含向量个数为：n-r，行最简形矩阵非零行首元1对应的未知量即为主元，其余为自由元；
④分别令一个自由元为1、其余为0，代入行最简形矩阵对应的齐次方程组得到Am×nX=0的一个基础解系X1，X2，…Xn-r；
⑤令所有自由元为0，代入行最简形矩阵对应的方程组得到Am×n=b的一个特解；
⑥写出通解X=X0+k1X1+k2X2+…+kn-rXn-r。
上述第④步的做法即保证了求出的n-r个解是基础解系又最为简单，当然，自由元取其他数亦可求出基础解系，但要进行验证其线性关系。在教学当中，根据上述步骤后在具体求解方程组时，学生常会在第四步出错，下面再给出两种通解的求解方法。
2.2 拆分法
①②③同2.1；
④写出行最简形矩阵对应的线性方程组，主元在等号左侧，自由元在等号右侧；
⑤分别令自由元为k1，k2，…kn-r，回出一组含有参数的通解；
⑥提取公因子k1，k2，…kn-r，将⑤中通解拆分成向量数乘之和，即呈现方程组解的结构，这与2.1的结果完全一致。
2.3 观察法
①②③同2.1；
④根据自由元所在列直接写出基础解系，基础解系n-r的个向量的自由元位置分量为n-r阶单位矩阵的各列元素，其余分量依次为最简矩阵自由元所在列前v个元素的相反数（不够以0补充）。
⑤取自由元为0，其它分量依次为行最简形矩阵最后一列前r个元素（不够以0补充）即得一个特解。
⑥写出通解X=X0+k1X1+k2X2+…+kn-rXn-r。
3 举例
设有非齐次线性方程组A5×6X=b，其增广矩阵（Ab）经过初等变换化为如下最简形矩阵：
易知（A）=秩（Ab）=3
3.1 常规法（2.1）
最简矩阵M对应的方程组为：
[x1-x3+x5+2x6=3
x2+2x3-3x5-2x6=-1
x4+x5+4x6=2] [x1-x3+x5+2x6=0
x2+2x3-3x5-2x6=0
x4+x5+4x6=0] [（2），相应齐次方程为：]
令x3=1，x5=0，x6=0，代入（3）得x1=1，x2=-2，x4=0，
X1=（1，-2，1，0，0，0）T；
令x3=0，x5=1，x6=0，代入（3）得x1=-1，x2=3，x4=-1，
X2=（-1，3，0，-1，1，0）T；
令x3=0，x5=0，x6=1，代入（3）得x1=-2，x2=2，x4=-4，
X3=（-2，2，0，-4，0，1）T；
令x3=0，x5=0，x6=0，代入（2）得x1=3，x2=-1，x4=2，
X0=（3，-1，0，2，0，0）T；
通解为X=X0+k1X1+k2X2+k3X3，k1R，i=1，2，3
3.2 拆分法（2.2）
最简形矩阵M对应的方程组写成如下形式：
[x1=3+x3-x5-2x6
x2=-1-2x3+3x5+2x6
x4=2-x5-4x6] （4）
令x3=k1，x5=k2，x6=k3，k1R，i=1，2，3，代入（4）得：
4 结语
如何用方程组反映代数的本质，并能够解决实际应用问题是线代代数教学的核心，而求解一般方程组，写出其解的结构又是线性代数教学的首要任务。以上三种方法在本质上是一致的，如果对向量组的关系、向量空间、解的结构有充分理解，可视为一种方法。方法一从向量空间的角度给出了通解的结构及求法；方法二能从通俗易懂的角度写出通解又展示其结构；方法三能快速准确的写出通解及其结构。在教学以及实际应用当中，根据不同接受程度的学习对象，适当的采取不同的求解方法能达到较好的教学效果。
参考文献：
[1]游宏.线性代数[M].高等教育出版社，2013.
作者简介：王发兴（1981-），男，汉族，甘肃武威人，讲师，研究方向为泛函分析、偏微分方程、数学教育学，南京邮电大学通达学院，江苏南京 210003
郑莹，南京邮电大学理学院，江苏南京 210046