浅论数学金融学中关于期权定价的问题

摘要：期权是指对未来选购某种商品的选择权，简单得说就是购买方向出售方支付一定的定金后，获得在一个约定到期日内按提前协定价格购买或出售一定数量商品标的资产权力。在我国金融业发展过程中，金融期权不但能有效地转移金融风险，还能保护广大投资者的资金安全，使广大投资者能立于不败之地，所以金融期权是一种非常具有发展前途的金融创新工具。我们通过对金融行业发展的研究发现，期权的定价模型，一直都被认为期权理论中的一个难点。对于金融期权一些书籍只是简单的介绍，没有使用数学方法深层次推导，本文简单地分析了数学金融学中的期权定价问题，阐明了研究这一问题的有力工具是倒向随机微分方程和正倒向随机微分方程。

关键词：股票市场;期权定价;数学金融

1997年10月14日,瑞典皇家科学院将第二诺贝尔经济学奖授予美国哈佛大学教授罗伯特·默顿(Robert C.Merton)和迈伦·肖尔斯(Myron S.Scholes)，以鼓励他们在数学金融学方面的杰出贡献。因此，引起最近这十几年来人们对数学金融学关注。金融数学(mathematics of finance)是运用数学理论和方法研究金融经济运行规律的一门新学科，在国际上称为数理金融学。

1、数学在金融学的定量研究中起着重要作用

Robert C.Merton所写名著Continuous-TimeFinance中,Merton自己写道:“现代金融学中的数学模型包含了概率论和最优化理论的一些最漂亮的应用。科学中漂亮的东西未必一定实用,而科学中实用的东西又并非都是漂亮的，指数学金融学却两者俱全，可见对其的评价。

1997年诺贝尔经济学奖的得主们经过反复研究发现，股票市场价格遵循带漂移的几何布朗运动的规律,用较深的数学知识就是随机过程和随机微分方程，终于设计出比较科学的、各类期权定价公式。虽然这个公式非常复杂，但是由于电脑和电子计算器联网，交易商操作起来也非常简单。现在，期权及其他金融衍生产品的交易已不分国界，全天24小时都在进行交易，每天都有成千上万的交易者在运用“Black-Sc-holes这个公式”。经过长期使用得出事实是:期权的实际成交价格的确总是在由此公式所得出的理论价格上下作偏差不大的波动，特别是对时间较短、没有太大波动的期权交易，这一模型的误差只有1%左右，对于规范国际市场起到了很大的作用。

当记者问及1970年诺贝尔经济学奖得主保罗·萨缪尔森：“有了这一公式,是不是使交易所变得较为可靠了?”他的回答是：“世界上没有哪个公式能够稍稍改变变幻莫测的股市风云,也没有哪个公式能够比运用公式的人更好。但是,这一理论使每一位老太太都能够请专家估计她持有证券的风险,并在适当时候回避风险。”当年这位82岁的经济学家一方面全面地估价这个被他称之为“完美、天才的公式”,另一方面也肯定了这个公式确已经受了20多年国际金融市场的考验,是当今期权交易的投资者衡量盈亏和风险的主要计算工具。

期权是期货合约的买卖权或买卖选择权,是期权购买者拥有的一种权利,并非一种义务。在期货交易中无论是远期交易的购买方,还是在期货交易中购得和约的持有者,到期时都必须按和约的规定履行成交手续,否则就要承担违约的惩罚。期权则不同,期权的购买者在支付一定的权利金购得某项期权后,如果他认为现行的市场价格比原来协议中的执行价格更有利,他便可以放弃对期权的执行。

以房产买卖业务为例,假定买方A和卖方B达成协议,买方A愿意支付300万元给卖方B,赢得一种权利,即在三个月后,A有权以1.2亿元购买B的一幢住宅楼,三个月后,无论该大楼的价格升至多高,A都有权以1.2亿元购买。如果住宅楼价升至1.3亿元,A就从期权交易中获利700万元;而如果住宅楼价跌至1.2亿元以下,A可以放弃购买权,只损失300万元的权利金。其实这300万元也未必真“损失”,如果A当时准备以1.2亿元立即购买成交,他当时就要支付1.2亿元现金。他以300万元的代价购买了期权,便可以赢得三个月继续占有1.2亿元资金的权利。这笔资金三个月内可以为他赢得其他利润。如存入银行获得利息,只要年利率为8%以上,便可把300万元赚回来。当然A购买这种权利是由于他估计房价会上涨,以少量的“权利金”去换取未来可能大量的“价差利润”。这种期权称为“看涨期权”或“买入期权”。无论未来的房价是涨还是跌,刚才的分析表明持有这种期权的A是旱涝保收的。

相反如果未来房价的趋势是下跌,住宅楼的所有者B可能会购买“看跌期权”或“卖出期权”,即付给A一定的权利金,获得三个月后以1.2亿元的价格卖给A的权利,那么三个月后,无论房价跌到什么程度,A必须以1亿元购买该住宅楼,而如果三个月后房价不跌反涨,则B有权不以1.2亿元卖给A,他可以寻找其他买主以更高的价格出售。期权交易后,主动权掌握在付出了权利金的购买者手里。

2、市场的简单描述

2.1 债券的模型

设X0(t)为债券在时刻t的价格，设h>0，则X0(t+h)-X0(t)是时间区间[t，t+h]上的回报，因此，=r■=r (1)

为时间区间[t，t+h]上的单位时间里的相对回报率，称为利率。例如，设t为年初，t+1为年末，债券价格年初为X0(t)=P(本金)，年末价格为X0(t+1)=A(本金加利息)，则式(1)变为

■=r

它是一个(线性)常微分方程,其解为

X0(t)=X0(0)eπ

式(1)亦可写成

X0(t+h)-X0(t)=rX0(t)h>0

可见X0(t+h)总比X0(t)来得大，即债券价格(市场价值)总随时间推移而增长，因此，我们说，债券是无风险的。

2.2 股票的模型

股票的模型与债券有很大的差别，设X(t)为某种股票在时刻 t 的价格,类似于债券的讨论方式，考虑时间区间[t,t+h]。此时，相应于式(5)的式子呈如下形式:

X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+ση(t,h)]

此处，b称为平均回报率，σ称为价格波动性(volatility)，而η(t，h)是一个规一化的噪声。它可正可负，由此可见，不能保证X(t+h)总大于X(t)。因此，股票是有风险的。η(t，h)通常是大量投资者相互独立的投资行为造成的。所以，人们认为η(t，h)是服从正态分布N(0,h)的随机变量(均值为0，均方差为h)。

若记W(t)为到时刻t为止的累积噪声，则它恰好是所谓的布朗运动,采用此记号，可写成:

X0(t+h)-X(t)=X(t){bh+σ[W(t+h)-W(t)]}

令 h0，可得

dX(t)=bX(t)dt+σX(t)dW(t)，

t∈[0，T]

这称为一个随机微分方程，它的解为

X(t)=xebt+σW(t)，t∈[0，T]

2.3 一般情形

假设有n+1种资产在市场中连续地交易着，将它们从0到n 编号。设第0种是债券，后n种为股票。设第i种资产在时刻t的价格(过程)为Xi(·)。类似于上述的讨论，有:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdXi（t）-bi（t）Xi（t）dt+Xi（0）-Xi，0≤t≤nXi（t）■σij（t） dWj（t）

2.3 一般情形

假设有n+1种资产在市场中连续地交易着，将它们从0到n 编号。设第0种是债券，后n种为股票。设第i种资产在时刻t的价格(过程)为Xi(·)。类似于上述的讨论，有:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdXi（t）-bi（t）Xi（t）dt+Xi（0）-Xi，0≤t≤nXi（t）■σij（t） dWj（t）

3、期权定价

考虑一个市场，仅有一种债券和一种股票上市，它们的价格满足下述方程:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdX（t）=X（t）b（t）dt+X（t）σ（t）dW（t）

这里,X0(t),X(t),r(t),b(t)和σ(t)分别为债券价格、股票价格、利率、股票的回报率和价格波动性。现在，我们来考虑所谓的欧式买入期权。这是一个合同，凭此可以在事先设定好的时刻T，以事先设定好的价格q前来购买1股给定的股票。分别称T和q为执行时刻和执行价格。例如，在1998年9月1日签约，于1998年12 月31日前以10元/股的价格购买复华实业股票1股，这就是一个买入期权。容易知道，到时刻T，将会有两种可能:

(1)若在t=T,X(T)>q，则拥有期权的人将前来实施其权益，即以价格q前来购买股票，然后立即以价格X(T)在市场上抛出，实现利润 X(T)- q。

(2)若X(T)

（X（T）·q）+max｛X（T）·q，0｝

X（T）-q，X（T）＞q0，X（T）≤q

假设在t=0时刻该期权的价格为y，由于期权的出售者在t=T时刻的损失为(X(T)-q)+，不得不将出售期权所得的y在市场上投资以获取足够的回报来弥补损失。当在t=0时刻投资y于市场后，总资产将随时间推移而变化，记为Y(t)。因此，Y(0)=y，希望在时刻T达到以下目的:

Y(T)≥(P(T)-q)+

假如他在时刻t将Y(t)分成两部分：π（t）Y（t）-π（t）

易知,当π(·)给定时，总资产在债券和股票中的份额完全确定，我们称π(·)是一个证券组合。通过简单计算可得Y(·)满足的方程如下:dY（t）=（r（t）Y（t）+（b（t）-r（t）））Y（0）=y

此处，已设σ(t)≠0并定义

Z(t)=σ(t)π(t)

当 y越大，相同投资方式下Y(T)也越大。从而,公平的价格y将使得下述关:

Y(T)=(P(T)-q)+

于是，得到下面的随机微分方程:

dX(t)=X(t)b(t)dt+X(t)σ(t)dW

(t)dY(t)={r(t)Y(t)+[b(t)-r(t)]σ(t)-1

X(0)=x,Y(T)=(X(T)-q)+

找到满足上式的适应过程(X(·)，Y(·)，Z(·))即可。

我们希望找到满足式(14)的适应过程(X(·)，Y(·),Z(·))。然后,期权的公平价格为y=Y(0)。

我们注意到式(14)中关于X(·)的方程是一个初值问题，故是前向的。而关于Y(·)的方程是终值问题，故是倒向的。由于这个原因，我们称式(14)为一个正倒向随机微分方程(简称FBSDE)。不过，式(14)是一个解耦的FBSDE。

参考文献：

[1] 王献东. Brown运动首达时在金融数学中的应用[J]. 常州工学院学报.

[2] 孙国红. 数学金融学中的期权定价问题[J]. 天津商学院学报. 2003(03)

[3] 严加安. 金融数学:历史与现状[J]. 中国青年科技. 2001(03)

[4] 雍炯敏. 数学金融学研讨会在沪举行[J]. 应用概率统计. 1999(01)