一题求多解 多解需统一

在物理习题教学中，使用“一题多解”的教学方法能产生三个层次的作用：第一、巩固所学的物理概念和规律，掌握物理概念和规律的应用；第二、拓展思维，培养学生的发散思维能力；第三、对于某些典型的物理习题（应用不同的规律能得到不一致的解），还能使学生掌握规律与规律之间的内在联系，从而使学生实现认识上的第二次飞跃.在具体的教学过程中，客观上往往存在片面追求“多解”——即追求多种解题方法，而忽视对“多解”的“统一”——即对多种解题方法做一致性的讨论，从而使“一题多解”的教学方法难以发挥它潜在的第三层次的作用.下面举一个典型的一个例子来说明.

1 相关例题

例1 如图1所示，质量为M的木板静止在光滑的水平面上，某时刻，质量为m的小木块以一定速度冲上木板.经过一段时间后木板与小木块相对静止并且以共同的速度v向前运动.已知从开始到二者相对静止时，木板相对于水平面的位移为s，小木块相对于木板的位移为l.试求小木块的初速度v0（m与M之间的滑动摩擦因数为μ）.

解法一 应用动能定理

因m与M之间的摩擦力为mgμ，方向相反，则：

摩擦力对m所做的功为

—mgμ（s+l）=12mv2—12mv20.

摩擦力对M所做的功为

mgμs=12Mv2.

二式联立得

v0=vM（s+l）ms+1

（1）

解法二 应用动量守恒定理

由于m与M组成的系统在水平方向不受外力，系统动量守恒.

由

mv0=（M+m）v，

解得 v0=M+mmv

（2）

解法三 应用动量定理

设摩擦力的作用时间为Δt，则：

摩擦力对m的冲量为

—mgμΔt=mv—mv0，

摩擦力对M的冲量为

mgμΔt=Mv，

解得 v0=M+mmv

（3）

解法四 应用匀变速直线运动规律

在摩擦力的作用下m做加速度为gμ的匀减速直线运动，M做加速度为mgμM的匀加速直线运动.按匀变速直线运动规律：

对m有v20—v2=2gμ（s+l），

对M有v2=2mgμMs.

结合二式可得v0=vM（s+l）ms+1

（4）

解法五 应用匀变速直线运动对平均速度的推论

由于m与M在Δt时间内均做匀变速直线运动，以平均速度关系：

m的平均速度为

=v0+v2，

M的平均速度为

′=v2，

则有

v0+v2Δt=s+l，

v2Δt=s，

解得 v0=lsv

（5）

以上五种解法所得到的五个解中，结果（1）和（4）形式一致，结果（2）和（3）形式一致，结果（5）和其它解都不相同，但是形式最为简单.对同一个问题正确应运不同的物理规律时却得到了不同形式的解，这在物理教学中是非常常见的.遇到这种情况时，学生自然而然会产生疑问，到底哪个对哪个错？还是都对？要是都对，怎么才能统一起来呢？

2 相关分析

显而易见，以上三个不同的答案只是形式上不一致，在本质上是完全一致的.但是教师在教学过程中或者当学生自己发现这种问题时，千万不能只是告诉学生以上答案“都对”，而是要以此为立足点，激发学生对这一问题进行进一步讨论，找到它们之间的联系，证明不同解在物理实质上的一致性.否则，不光失去了使学生面临具体问题，进一步内化、外化物理规律，实现认识上获得飞跃的机会，而且可能会导致学生内心产生对物理规律自洽性的怀疑.那么怎么解决以上三个解的不一致性问题呢？其实很简单，只要找到质量m、M和位移s、l之间的函数关系就可解决.方法如下：

结合（3）式v0=M+mmv和（5）式v0=lsv，

可得

ls=M+mm.

将（6）式代入（1）式，有

v0=vM（s+l）ms+1

=vMm（1+M+mm）+1=M+mmv，

即（1）、（2）、（3）、（4）各式都是统一的.

再将（6）式代入（2）式，有

v0=M+mmv=lsv.

由此可知，以上各式都是统一的.

在应用物理规律解决物理习题时，之所以出现多种形式不一样的结果，其原因是特定的物理定律存在着多种表现形式，即存在多种推论（或定理）.以上例题的物理本质就是牛顿第二定律，而解题过程正是应用了牛顿第二定律的多种表现形式（推论或定理）.当定理的条件成立时，结果都是相互统一的.

综上，我们可以得出这样的结论：当我们追求多种方法解题的同时，千万不要忽视对多种形式的解作“一致性”的讨论.只有这样，才会使学生掌握规律与规律之间的内在联系，才有机会使学生实现认识上的第二次飞跃；只有这样，才能使“一题多解”的教学方法发挥其全面的功能.

【本研究为中央高校基本科研业务费资助项目，编号：2011B016】