活用复数解题

在求解有关代数、三角及几何问题时，如果能够灵活地运用复数知识，不仅可以开阔解题思路，提高解题速度，达到快速获解的目的，而且对培养我们思维的灵活性和创造性也是大有裨益的.

一、求解代数问题

复数的代数形式揭示了复数的代数性质，因此可利用这些性质巧妙地求解代数问题.

1. 求函数的最值

例1 已知[x2+y2=1]，求函数[u=f（x，y）=][（x3-3xy2-3x-2）2+（3x2y-y3-3y）2]的最大值.

解析 设[z=x+yi（x，y∈R）]，

则[g（z）=（x3-3xy2-3x-2）][+（3x2y-y3-3y）i]，

[=[x3+3x2（yi）+3x（yi）2+（yi）3]-3（x+yi）-2]

[=（x+yi）3-3（x+yi）-2=z3-3z-2=（z+1）2（z-2）].

[f（x，y）=|g（z）|=|z+1|2|z-2|]

[=[（x+1）2+y2]・（x-2）2+y2].

[y2=1-x2，|x|≤1]，

[2x+2>0，5-4x>0].

[f（x，y）=（2x+2）・5-4x]

=[（2x+2）2（5-4x）]≤[[（2x+2）+（2x+2）+（5-4x）3]3]

=[33].

当且仅当[2x+2=5-4x]，即[x=12]（此时[y=±32]）时取等号.

[f（x，y）]的最大值是[33].

点拨 本题是二元函数[f（x，y）]的最大值问题，常规解法是利用条件式[y2=1-x2]作代换，将二元函数转化为一元函数后再求最值，求解过程不仅繁琐，有时还难以奏效. 这里巧用复数代换，将问题转化为复数模的最值问题，然后利用均值定理，简捷而巧妙地求出结果，从而达到快速解题的目的.

2. 求无理函数的值域或最值

例2 求函数[y=4a2+x2]+[a2+（a-x）2]的值域.

解析 令[z1=2a+xi]，[z2=a+（a-x）i]，

则有[|z1|=4a2+x2]，[|z2|=a2+（a-x）2].

[|z1|+|z2|]≥[|z1+z2|]，

[y=4a2+x2]+[a2+（a-x）2]=[|z1|+|z2|]≥[|z1+z2|]

=[|2a+xi+a+（a-x）i|=|3a+ai|]

=[（3a）2+a2]=[10a2]=[10]|a|.

[y≥10|a|]，故函数的值域是[[10|a|]，+∞）.

3. 证明无理不等式

例3 设[x，y，z∈R+]，[x+y+z=10]，

求证：[x2+y2]+[y2+z2]+[z2+x2]≥[102].

证明 设[z1=x+yi， z2=y+zi， z3=z+xi].

[|z1|+|z2|+|z3|]≥[|z1+z2+z3|]，

[x2+y2]+[y2+z2]+[z2+x2]≥[|x+yi+y+zi+z+xi|]

=[|（x+y+z）+（x+y+z）i|]=[（x+y+z）2+（x+y+z）2]

=[2（x+y+z）2]=[200]=[102].

不等式成立.

4. 证明与二项式定理相关的等式

例4 求证：[（C0n-C2n+C4n-C6n+…）2]+（[C1n-C3n+C5n-C7n+…）2]=[2n].

证明 设[z=][（C0n-C2n+C4n-C6n+…）]+（[C1n-C3n+C5n-C7n+…）i]，

则有[z=C0n+iC1n-C2n+iC3n+C4n+iC5n-C6n+iC7n+…]

=[C0n+iC1n+i2C2n+i3C3n+…][+inCnn]=（1+i）n，

|z|2=|（1+i）n|2=|1+i|2n=（[2]）2n=2n，即

（[C0n-C2n+C4n-C6n+…）]2+（[C1n-C3n+C5n-C7n+…）]2=2n.

点拨 本题要证明的是二项式的一条性质，容易看出等式左边可看作复数[z]的模的平方.考虑到二项式[（1+i）n]的展开式，由此可得复数[z]的另一种表达式[z=（1+i）n]，于是要证式转化成了证明等式[|（1+i）n|2=2n]的问题. 这个结论是显然成立的. 在上述证明过程中，大家应该注意到了[i]的幂的周期性，这就为顺利探索[z=（1+i）n]奠定了基础. 利用[i]的幂的周期性对[z]的表达式进行改造，凑出二项式展开式的形式并逆向运用二项式定理，这在思维水平上层次较高，具有一定的灵活性和深刻性.

二、求解三角问题

复数的三角式将复数与三角知识紧密地联系在一起，利用复数的三角式运算性质及概念，可解决有关的三角问题.

1. 证明三角等式

例5 已知[sinα+sin3α+sin5α=a，][cosα+cos3α]+[cos5α=b]，求证：[a2+b2=（1+2cos2α）2].

证明 设[z=cosα+isinα]，则[|z|=1]，且

[b+ai=（cosα+cos3α+cos5α）+i（sinα+sin3α+sin5α）]

=[z+z3+z5=z3（1z2][+1+z2）=z3（1+z2]+[z2]）

=[z3（1+cos2α-isinα+cos2α+isin2α）]

[=z3（1+2cos2α）]

[a2+b2=|b+ai|2=|z3（1+2cos2α）|2=（1+2cos2α）2].

点拨 本题常规解法是先将条件式左端适当分组并且和化积，然后再求[a2+b2].在上述解法中通过引进复数[z]，并利用复数的乘方及复数模的性质，证明过程独特而巧妙，充分地体现了思维的灵活性和创造性.

2. 据条件求值

例6 已知[π2]<β<α<[3π4]，且cos（α-β）=[1213]，sin（α+β）=[-35]，求sin2α.

解析 由[π2]<β<α<[3π4]得，

0<α-β<[π4]，π<α+β<[3π2].

α-β是第一象限的角，cos（α-β）=[1213]，

α-β=arc（12+5i）.

又α+β是第三象限的角，sin（α+β）=[-35]，

α+β=arc（-4-3i）.

又有2α=α-β+α+β∈（π，[7π4]），

2α=arc（12+5i）+arc（-4-3i）

=arc[（12+5i）（-4-3i）]=arc（-33-56i），

于是sin2α=[-56562+332=-5665].

3. 求角的大小

例7 已知α，β为锐角，且tanα=[13]，cosβ=[752]，求2α+β的值.

解析 设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，

由已知条件易得，sinα=[13]cosα，sinβ=[152].

[z21z2]=（cosα+i・[13]cosα）2・（[752+152]i）

=[19]cos2α（3+i）2[（752+152i）]

=[1452]cos2α（8+6i）（7+i）=[529]cos2α（1+i）.

α，β为锐角，2α+β=arc（[z21?z2]） =[π4].

点拨 本题常规解法是根据已知条件设法求出[2α+β]的某一个三角函数值，再根据这个三角函数值及角所在的象限来确定角的值.在上述求解过程中，通过引进了两个复数[z1，z2]，从而把求[2α+β]的值的问题转化为求复数[z21?z2]的辐角问题，思路通畅，解法清晰明了.

4. 证明三角形的边角关系

例8 如图所示，在[ABC]中，[a，b，c]是内角[A，B，C]的对边，则[a2=b2+c2-2bccosA].

证明 建立复平面，使原点[O]位于三角形的顶点A，射线AB为x轴的正方向，设A，B，C的对边分别为a，b，c，则点B和C分别对应复数c和b（cosA+isinA）.

由于[CB]=[OB]-[OC]，

于是|[CB]|=|[OB-OC|=|c-b（cosA+isinA）|].

即[a=（c-bcosA）2+（bsinA）2]=[b2+c2-2bccosA].

[a2=b2+c2-2bccosA].

三、求解几何问题

复数的向量表示及复数运算的几何意义是解决几何问题的有力工具，复数法是用数的方法来解形的问题的重要方法.

1. 证明平面几何问题

例9 如图所示，已知在正方形ABCD中，E为DC的中点，F为EC的中点，求证：∠FAB=2∠DAE.

证明 建立坐标系确定复平面，且设正方形的边长为1，取[BC]中点[G]，若以复数[z1，z2]分别表示向量[AF]与[AG]，则[∠FAB]与[∠GAB]分别为[z1]与[z2]的辐角.

[z1]=[34+i]，[z2]=1+[i2]，

由于[z22]=（1+[i2]）2 =[34+i=z1]，

[z1]的辐角主值总是[z2]的辐角主值的2倍，

故[∠FAB=2∠GAB]，即[∠FAB=2∠DAE].

点拨 如果一个复数是另一个复数的平方，由复数的三角运算可知，这个复数的辐角是另一个复数辐角的两倍.

2. 求曲线方程

例10 已知直线[l]过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上.若点A（-1，0）和点B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.

解析 如图所示，设[C：y2=2px（p>0）]，[l：y=xtanθ]，[A，B]关于直线l的对称点分别为P，Q.

则[OP]可看成由[OA]逆时针旋转[2θ]而得，[OQ]可看成由[OB]顺时针旋转[2（π2-θ）=π-2θ]而得.

[OP]对应的复数为-1・（cos2θ+isin2θ）=-cos2θ-isin2θ，[OQ]对应的复数为8i・[cos（2θ-π）+isin（2θ-π）]=8i（-cos2θ-isin2θ）=8sin2θ-i・8cos2θ.

由于P，Q都在抛物线C上，

因此有[（-sin2θ）2=2p（-cos2θ），（-8cos2θ）2=2p?8sin2θ，]

化简得tan2θ=-2，即[2tanθ1-tanθ]=-2.

[π4]<θ<[π2]（否则P，Q不可能在C上），

tanθ=[1+52]，[2p=sin22θ-cos2θ]=[455].

直线[l]的方程为[y=1+52x]，抛物线[C]的方程为[y2=455x].

点拨 本题若采用常规解法则很繁琐，在此用复数运算的几何意义，另辟蹊径，巧用对称性，使得解题过程简洁明快.

练习

1. 求函数[y=x2-6x+34]+[x2-8x+20]的最小值.

2. 设[a1，a2，b1，b2∈R]，

求证：[|a1b1+a2b2|]≤[a21+a22?b21+b22].

3. 设[a，b∈R]，求证：[a2+b2]+[（1-a）2+b2]+[a2+（1-b）2]+[（1-a）2+（1-b）2]≥ 2[2].

参考答案

1. [ymin=52]

2～3 略