浅议如何为风险厌恶者配置最优投资组合

【摘要】 证券投资的目的在于获取更高收益,但不同的投资者对于风险的承受能力却是不一样的,而大部分的投资者属于风险厌恶型,追求的是一定风险下的收益最大化。安全第一准则(SFC)正是基于这一点,将投资者的风险限制在某一个灾难性的水平。本文将安全第一准则运用到投资组合配置上,重点论述了分别基于三种安全第一准则的投资组合的最优配置方法,并据此利用沪深300指数的十大权重股的组合配置进行实证研究。安全第一准则下的高收益是风险更有限的高收益,可以控制灾难性水平发生的可能性,因而此文的研究较一般证券组合选择方法更有意义。追求安全第一的投资者与其他投资者的不同在于在追求收益最大化的同时会考虑所要承担的风险,这点对于风险厌恶的投资者来说,也更具实用价值。

【关键词】 风险厌恶 安全第一准则 最优投资组合 沪深300

传统的投资组合是根据马克维茨组合模型进行资产配置,其最大的缺陷则是并没有考虑投资者对于风险的承受能力。而现实生活中大部分的投资者都是风险厌恶型,他们在配置投资组合时必须要考虑风险因素,安全第一准则正是符合风险厌恶型投资者的这一要求。因此笔者尝试在这里以概率的方式将安全第一准则应用到资产配置中。

一、安全第一准则

证券投资的目的在于获取更高收益,但不同的投资者对于风险的承受能力却是不一样的。风险喜好者追求高风险,但大部分的投资者属于风险厌恶型,追求的是一定风险下的收益最大化。安全第一准则(SFC)正是基于这一点,将投资者的风险限制在某一个灾难性的水平。因此,安全第一准则下的高收益是风险更有限的高收益,可以控制灾难性水平发生的可能性,因而较一般证券组合选择更有意义。追求安全第一的投资者与其他投资者的不同在于在追求收益最大化的同时会考虑所要承担的风险,这点对于风险厌恶的投资者来说,更有实用价值。

Roy于1952年最先提出了安全第一投资者的投资组合问题。1971年,H.Pyle和S.J.Turnovsky将常见的安全准则总结归纳为以下3种安全第一准则。

SFCⅠ 指定回报水平z,要求回报rx不大于z 的概率最小化,即mim Pr{rx?燮z}s.t xTI=1。

SFCⅡ 在回报rx小于回报水平z的概率小于指定概率水平?琢的情况下使回报水平最大化,即max z s.t Pr{rx?燮z}?燮?琢,xTI=1。

SFCⅢ 在回报rx小于回报水平z的概率小于指定概率水平?琢的情况下使期望收益率最大化,即max rx s.t Pr{rx?燮z}?燮?琢,xTI=1。。

二、最优投资组合配置

将安全第一准则运用到投资组合配置上,不妨尝试对三种准则分别求出其最优投资组合。

命题1:指定回报水平z,要求回报rp不大于z的概率最小化,安全第一准则下的投资组合最优配置为:从指定回报水平出发的射线与投资组合有效前沿的切点组合。

证明:假设Pr{rp?燮z}概率服从正态分布N(rp,p2),则有: Pr?燮~?准,要求概率尽可能小,由于函数Pr{rp?燮z}关于z的分布可以看为单调递增函数,则化为标准正态分布后,若在z一定的情况下,使得最小化,就能够满足SFC1的条件。图1中,在以rp为纵坐标,p为横坐标的坐标系上,曲线C为投资组合有效前沿(见2.3.1)。而恰好又为从p=z点出发的射线的斜率K=的相反数,要使得值最低,即要求斜率K值最大,可知与有效前沿C相交而且斜率最大的射线有且仅有一条,即图中与曲线C相切的切线,切点A点就是所找到的最优投资组合,它满足基于第一种安全第一准则的投资组合配置条件。

命题2:在回报rp小于回报水平z 的概率小于指定概率水平?琢的情况下,使回报水平最大化的安全第一准则下的投资组合最优配置为:以-F-1(?琢)为斜率的射线与有效前沿相切的切点组合。

证明:可知有:Pr?燮~?准(假设同命题1证明部分),因为?琢水平指定,而函数Pr{rp?燮z}关于z 的分布为单调递增函数,要使得z 最大化,同时满足F()?燮?琢,则需要分布取最大值?琢,不等式取等号。即取分位点F-1(?琢)(由于?琢通常是一个很小的数,因此F-1(?琢)常为负数),从而从z 点出发的射线的斜率K=取固定值-F-1(?琢)。那么我们可以知道,如图2中,作无数条以-F-1(?琢)为斜率的射线,起点为射线与纵轴的交点zi,i=1,2,…。能够使得与投资组合有效前沿C相交且满足z最大的射线有且只有一条,即从z2点出发的与有效前沿相切的射线。切点A即为所求的最优投资组合,它满足基于第二种安全第一准则的投资组合配置条件。

命题3:在回报rp小于回报水平z的概率小于指定概率水平?琢的情况下,使期望收益率最大化的安全第一准则下的投资组合最优配置为:以-F-1(?琢)为斜率的从指定回报水平出发的射线与有效前沿相交的上交点组合。

证明:(假设同上)在指定?琢水平且z固定的前提下,令Pr{rp?燮z}=?茁,可知0?燮?茁?燮?琢。要使得rp最大,显然则需要?茁值越大越好,那么F-1(?茁)(见命题2证明部分,同理也为负数)的值也需要取最大,即其绝对值也就是斜率-F-1(?茁)越小越好,因此如图3中,从rp=z点出发的射线绕z点顺时针旋转。当?茁值取到最大值?琢 的时候,我们找到了唯一一条符合条件的射线与有效前沿C相交于上端点A点(由于我们追求rp最大化,故放弃下端点取上端点)。因此上交点A点即为所求的最优投资组合,它满足基于第三种安全第一准则的投资组合配置条件。

在前三个命题中,没有考虑固定收益证券的情形,在有固定收益的证券组合中(有效前沿有变化),可以应用同样的方法得出符合SFC的最优证券组合。

三、沪深300的跟踪组合配置

沪深300指数是由上海证券交易所和深圳证券交易所联合编制的指数,于2005年4月8日正式。该指数选取300只A股作为样本,其中沪市179只,深市121只,以2004年12月31日为基日,基日点位1000点。其样本选择标准为规模大、流动性好、交易活跃的主流投资股票,覆盖了沪深市场六成左右的市值,具有良好的市场代表性。沪深300别于沪深两个市场各自独立的综合指数和成份指数,它的推出反映了沪深市场整体走势的跨市场指数,切合了市场需求,适应了投资者结构的变化,为市场增加了一项用于观察市场走势的指标,也进一步为市场产品创新提供了条件。因此,本文即将以沪深300的相关数据来作为实例分析的对象。2009年9月1日沪深300指数按流通市值大小排名的前十大权重股数据如表1。

通过计算,我们可知十只权重股占沪深300成份股总市值的25.27%。由此,我们重新分配权重,构造一个由这十只股票作为成份股的投资组合。表2中是从2009年6月24日至2009年9月1日共50个交易日沪深300指数以及这十只权重股的收盘价(数据来自搜狐财经网,其中数据缺失的用前一天的数据补充)。根据这些数据,我们利用SPSS统计软件,可以非常方便地得出沪深300指数及十只权重股的均值、标准差以及方差,见表3。

按照这十只股在表1中的从上至下排序,算出他们相互之间除方差外的45个协方差,小数点后保留两位,列出收益的方差-协方差矩阵V如下:

根据MINVERSE函数可以算出方差-协方差矩阵的逆矩阵V-1:

我们拟用这十只股票构造一个目标指数沪深300的跟踪组合,用列向量r=(r1,r2,…,r10)'表示十只股票的期望收益率,用列向量x=(x1,x2,…,x10)'表示十只股票的证券组合,辅助阵I=(1,1,…,1)'从而我们求投资组合的有效前沿转化为解下列规划问题:minX-1VX, s.t.X'r=rp,X'I=1。

解出中间变量A=I'V-1r=87.99, B=r'V-1r=296.10,C=I'V-1I=

42.76,D=BV-A2=4919.418>0,代入公式:

-=1

即可解出有效前沿所在的开口向右的双曲线:

利用命题1(见2.3.2),指定回报水平z的条件下,如图3,基于SFC1的最优投资组合切点A的组合Xe为:

Xe=

不妨设z=2.0,则可解出最优投资组合为(结果保留4位有效数字):

Xe=(-0.5679,-9.3094,0.8238,10.4897,1.0023,5.8547,

2.2130,-11.7886,-0.4236,2.7059)'

验证可知,xi=1,故我们配置出了基于SFC1的最优投资组合,其中,负数代表应卖空的该成份股的权重,正数代表应买多的成份股的权重。

其他安全第一准则的组合配置类似,故此不再赘述。由于我国目前没有卖空机制,所以,当不可卖空时的最优组合是本文的继续研究方向之一。

【参考文献】

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