基于初等数学基础上的高等数学教学探讨

摘要随着基础教育的改革深化,高等教育也需要不断适应发展需要。就高等数学和初等数学的区别与联系进行阐述,提出提高高等数学教与学的对策,为进一步加强初等数学与高等数学的衔接研究提供参考。

关键词高等数学;初等数学;衔接

中图分类号G4 文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)042-0177-01

国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020)指出,深化教育体制改革,关键是更新教育观念,核心是改革人才培养体制,目的是提高人才培养水平。树立系统培养观念,推进大中小学有机衔接,教学、科研、实践紧密结合,学校、家庭、社会密切配合,加强学校之间、校企之间、学校与科研机构之间合作以及中外合作等多种联合培养方式,形成体系开放、机制灵活、渠道互通、选择多样的人才培养体制。随着基础教育的进一步深化,高等教育如何改革以适应教育发展需要,成为人们关注的焦点。

1初等数学与高等数学的区别联系

初等数学研究的是常量,高等数学研究的是变量。初等数学是常量的、静态的数学,它只能解决和解释常量的几何问题和物理问题,比如规则图形的长度、面积和体积,匀速直线运动,常力沿直线的作功,质点间的吸引力等;高等数学是变量的、动态的数学,它解释和解决那些变化的几何问题和物理过程,特别是描述一些物体的渐近行为和瞬时物理量等,比如不规则图形的面积,曲线的长度,变力作功等。

从系统论的角度来看,数学与教学之间必须相互配合协调、有机衔接,才能产生良好的教学效果,提高教学质量,否则,将会出现数学兴趣低、效果差等不良现象,直接或间接影响高技能人才的培养和教育资源的极大浪费。长期以来,在初等数学和高等数学的实际教学过程中,存在一些问题:一是由于教学课程改革,把有些在大学学习的内容放到中学讲授,增加了中学数学教材内容,而实际上大学和中学教材缺乏统一的标准,各自为政,教学内容没有明确合理的分配、重复多、前后脱节,衔接不到位。二是由于应试教育的负面影响,中学的教学方式以灌输式为主,进度慢、理论深度不高,教师教授某个内容后,一般都要求学生反复练习,不断巩固,直到掌握;而高等数学课程起点高,难度大,讲授速度快,抽象性强,教师只是提纲挈领,课后交流辅导少。学习方式转变为由随从变主动,教学由灌输变自主。

初等数学和高等数学都是对客观现实进行不断抽象进而从量与关系方面进行研究的一种模式,是来源于社会实践的需要。数学在自身向前发展的同时,又日益促进着社会的发展,无论是初等数学还是高等数学,其研究的对象并不像物理学、化学一样具有客观实物形象,而是抛弃了具体事务的质的特性而仅仅从量与关系方面进行描述的一种模式。随着希尔伯特形式化公理系统的提出,数学研究的这种模式越来越远离现实和一般人的常规思维。

2加强初等数学与高等数学联系的意义

近些年来,高校不少学生对学习高等数学存在不少看法,如:“现在学习的高等数学好像与初等数学联不大系”,“学习高等数学对今后工作作用不大”,有的甚至提出:“高等数学在初等数学中基本用不上”等等。其实,这完全是认识上的偏见。高等数学是初等数学的延续和发展,而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径,无疑应该先学习和掌握初等数学,然后才能学习和掌握高等数学。反之,学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解,可以提高我们的数学修养,开阔思路,提高解决问题的能力。

1)对初等数学的学习和教学具有指导作用。高等数学是在初等数学的基础上发展起来的,前者是后者的延续和补充,如《高等几何》、《高等代数》就分别是在《初等几何》、《初等代数》基础上逐步发展起来的。高等数学的发展使我们对初等数学的认识更加深刻全面,如:用初等数学的方法研究数学的增减性,凹凸性,求极值,最值等种种特性有很大的局限性,而在高等数学中利用导数知识就可比较完美研究函数的特性。学习高等数学可以帮助学生形成正确的数学观念。近些年来,许多教育家提出:数学教育的目的是培养学生的数学观念,把数学科学理解为一个巨大的相互联系的整体。在初等数学中,代数、几何、三角等各自分离门户,各有个的观点和方法。然而在需要运用数学知识解题时却往往要综合运用各科知识,而学生长期习惯于分门别类地学习,往往错误的认为它们是各自孤立的学科,因而难于综合运用各门知识,可以说,这样的学生形成了不正确的数学观念。2)对初等数学理论上的支持。在初等数学的发展中当时不能或不易解决的问题,运用高等数学的理论和方法可得到圆满的解决。如高次求根问题,初等几何问题等都得到了圆满的解决。还比如在现行中学教材中的数学归纳法,只讲怎样用数学归纳法而不谈数学归纳法的证明,中学教材这样处理是考虑中学生的知识水平,年龄特征等。但在高等数学中不但给出了数学归纳法的原理,还可以由该原理演变出各种形式的归纳证明方法:第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向归纳法、无穷递降归纳法等,用这些方法可以解决用其他数学方法难于处理的许多问题。总之,高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系,初等数学中的一些思想方法至今仍在高等数学中起着非常重要的作用,而初等数学的研究对高等数学的发展也起了很大的促进作用。

3如何加强高等数学的教与学

高等数学是理工科院校一门重要的基础学科。作为一门科学,高等数学有其固有的特点,就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点――有了高度抽象和统一,我们才能深人地揭示其本质规律,才能使之得到更广泛的应用。因此,学好高等数学对我们来说相当重要。然而,很多学生对怎样才能学好这门课程感到困惑。要想学好高等数学,至少要做到以下几点:

1)理解概念。数学,特别是现代形态的数学,是一种很空洞抽象的东西。从形式上看,数学是由无物质内容的形式符号按一定的“游戏规则”所组成的推演系统,她远离人的直接经验,具有一定的超现实性。完全纯粹的数学,对于常人来说,无疑是一部“天书”。为了理解数学中的每一个概念,读懂“天书”中的每一个词,我们必须坚持语言文字、数学公式、图形列表、数值计算和物理实例四方面并重,力求通过不同侧面来理解数学概念、思想和方法。2)演算解题。高等数学,单靠教师把课讲好是远远不够的。只有调动学生学习的积极性和主动性,促使他们自觉地接受经常、充分而又严格的数学训练,才能使他们真正走近数学,取得切身的体会,从而加深对数学的理解。在认真复习的基础上做好习题,是和课堂教学联系最直接与紧密,同时也最利于经常实施和长期坚持的一项重要的数学训练。多讲不如多练,对数学这样一门注重思考的学科,情况更是如此。只有通过严格的训练,使学生手脑并用,才能启迪心智,推动思维,使认识不断深入。学习高等数学,不仅要求学生掌握高等数学中的一些基本概念、基本性质和基本方法;更重要的是掌握高等数学的知识体系、知识框架,期望学生通过学习高等数学,提高抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和运用所学只是分析问题和解决问题的能力。3)逻辑结构。在现代数学中,符号演算在课程中常占着较大的比例,比如微积分中的极限演算,导数和各种积分演算等。而事实上,符号演算仅仅是数学中的形式部分,也是比较简单的部分;数学中的逻辑结构才是它的理性思辨的精髓所在,它虽然不同于物质的物理结构,但是它们所产生神妙的结构,却是可以类比的。比如一种机械在装配前,只是一堆死的零部件,若加以精密的装配,就是赋予一种结构,于是这堆零件就回变成钟表、计算机、电视机和汽车等等,产生出各种奇妙的功能,因此结构是各种机械的灵魂。数学,特别是高等数学是具有很精密而系统的建构性,它的任何章节,所有概念和定理无不是由严密的逻辑因果网编织连接在一起的。可以说,数学的逻辑结构乃是数学科学的本质与灵魂,是它的原理和精神的所在。4) 数学与现实。从形式上看,数学乃是由无物质内容的形式符号按一定的“游戏规则”所组成的符号推演系统,它远离人的直接经验。但是追本溯源,它的任何分支都是由更初级的内容演化发展而来的,是对现实世界的无限高度抽象和概括而得到的。我们在学习的时候,不要抛弃微积分本来

(下转第174页)(上接第177页)的具体实例、直观思维等实实在在的东西,不要被它的严肃刻板的ε-d、ε-N语言所吓倒,这只是微积分保护自己的盾牌而已。数学这种形式上的“超现实性”在某种程度上是其在各种自然科学和社会科学中都有广泛而深刻的应用的保证。但是,我们在学习这些抽象的数学时,一定要结合具体而生动的实例加以理解,还抽象数学以其现实本性,只有这样我们才会觉得数学是活的、生动的、具体的、可以捉摸的,而且会体会到它为什么会是这样的,为什么会必然是这样的,做到知其然,更要做到知其所以然。5)深入浅出。数学思维是思辨性的演绎思维,它不同于自然科学中的观察、归纳、总结、分析这样的归纳思维。粗略地说,归纳思维是人有生以来认识了解周围世界的一种主要思维方法,是人生来就熟悉的自然思维;而演绎思维是归纳思维的一种逆向思维,是一种更为复杂的理性思维。只有通过一定的训练,我们才能熟悉、掌握和运用。数学逻辑的演绎,从思维结构上看是“串联”的,也即在逻辑演绎的推理链只需有一个环节不连续、衔接不上,其后续的推理就失去了依据,整个演绎就不能继续。因此我们在学习过程中必须做到十分细致、缜密,深刻理解数学演绎中的每一个环节,以及环节与环节之间的联系,做到事出有据,这是“深入”。但是如果只有“深入”,使得我们埋头于每一步骤的细节,往往会使我们只见树木不见森林,全然不知所云!这就要求我们还要“浅出”,从高处俯览、远处远眺所学的内容,即对内容作全局性、宏观性的总结和概括。就像要了解一台精密的设备,仅仅了解它的所有零部件是远远不够的,我们必须要宏观地懂得它的结构构造,运作功能和配合原理。只有“浅出”,结合现实,才使我们的学习有了明确的目标意识,纷繁复杂的“深入”才能呈现处清晰的主干脉络,才能激发我们的自觉性和能动性,改变被动地带带公式、套套定理的学习状态。

参考文献

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[2]萧树铁.高等教育改革研究报告.数学通讯,2002.

[3]牛海军.初等数学与高等数学衔接问题研究[M].辽宁师范大学,2008,06.

[4]徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议[J].数学教育学报,2000.

作者简介

曹晓军(1971―),男,硕士,张家界航空工业职业技术学院数学教研室讲师。