一种基于区间直觉模糊数多属性决策排序方法

【摘 要】本文首先提出了一种基于心态指标的区间直觉模糊多属性决策方法，该方法可将区间直觉模糊决策矩阵转化为区间数决策矩阵；并在这种方法的基础上解决了同时包含区间数、语言数、三角模糊数、区间直觉模糊数等模糊信息的混合型决策矩阵的排序问题.最后，经过实例说明了该方法的可行性和有效性。

【关键词】多属性决策；区间直觉模糊数；混合决策矩阵

1.预备知识

定义1.1 设X是一个非空集合，={|x∈X}为区间直觉模糊集，其中，（x）?[0，1]和（x）?[0，1]，且满足条件sup（x）+sup（x）≤1，?x∈X。

称π（x）=1-（x）-（x）为元素x属于X的犹豫度。

下面介绍一下区间数的运算法则：

定义1.2 设a=[al，au]，b=[bl，bu]为两个区间数，则有：

（1）a±b=[al+bl，au+bu] （2）a·b=[al·bl，au·bu] （3）λa=[λal，λau]

定义1.3 设a=[al，au]，b=[bl，bu]为两个区间数，且l（a）=au-al，l（b）=bu-bl，则称

p（a≥b）= （1）为a≥b的可能度。

2.基于心态指标的区间直觉模糊多属性决策方法

在实际的决策问题中，决策者由于自身条件和外界环境的不同会有不同的心态。例如，在时间比较紧，知识或数据比较缺乏，决策者的精力和信息处理能力有限时，决策者进行决策时往往会非常谨慎，持悲观心态；如果有关的信息资料比较充足，决策者精力充沛和信息处理能力较强，此时决策者的心态比较温和；当决策者自认为是该决策问题方面的专家时，决策者进行决策时持乐观或激进心态。一般来说，决策者的心态不同会导致不同的决策结果。为此，本文引入心态指标来研究属性值为区间直觉模糊数的多属性决策，将区间直觉模糊决策矩阵转化为区间数决策矩阵，再运用可能度进行排序。

假设方案 在属性Gj下的属性值为区间直觉模糊数ij=（[aij，bij]，[cij，dij]），i=1，2，...，m ，j=1，2，...，n。[aij，bij]表示方案Ai对属性Gj的满足程度，[cij，dij]表示方案Ai不满足属性Gj的程度，πij=[1-bij-dij，1-aij-cij]表示决策者的犹豫度，记决策矩阵D=（ij）m×n。

决策矩阵中元素ij的隶属度[aij，bij]越大说明方案Ai满足属性Gj的程度越大。我们考虑犹豫度[1-bij-dij，1-aij-cij]中有一部分表示方案Ai满足属性Gj的值，因此可以给犹豫度适当的系数kij，将其合理分配到隶属度中。

设xij∈[aij，bij]，yij∈[cij，dij]，1-xij-yij∈[1-bij-dij，1-aij-cij]，则隶属区间可表示为：hij=xij+kij（1-xij-yij）。

其中kij∈[0，1]。当kij固定时，hij是关于xij的增函数，关于yij的减函数。因此当xij=aij，yij=dij时，hij取最小值aij+kij（1-aij-dij）；当xij=bij，yij=cij时，hij取最大值bij+kij（1-bij-cij）。故此时隶属度的取值区间为：

[aij+kij（1-aij-dij），bij+kij（1-bij-cij）] （2）

此时我们可以将区间直觉模糊决策矩阵D转化为区间数决策矩阵H，H中元素hij越大则说明方案Ai满足属性Gj的值越大。

显然，将区间直觉模糊决策矩阵转化为区间数决策矩阵后，我们可以灵活运用区间数决策矩阵的各种排序方法。

3.混合型决策矩阵的排序方法

由于客观事物的复杂性、不确定性以及人类思维的模糊性，在实际决策问题中，决策信息往往很难以实数形式表示，取而代之以语言数、三角模糊数、区间直觉模糊数，甚至有多种形式同时出现的决策矩阵（称为混合型决策矩阵）。因此，对以混合型决策矩阵作为信息载体的多属性决策排序问题的研究有着较为重要的理论意义和实际价值。

首先，我们对区间数、语言数、三角模糊数和区间直觉模糊数一次进行简单说明，并将它们转化为统一的区间形式。

区间数作为最早被人们认识的模糊数，其形式较为简单：a=[al，au]，其中al≤au。

当考虑到决策者在进行定性测度时，一般需要适当的语言评估标度.本文考虑采用7个语言短语构成的语言评论：

S={s0=极差，s1=差，s2=稍差，s3=一般，s4=稍好，s5=好，s6=极好}

此时我们考虑将上述评论集合S转换成与之一一对应三角模糊数集合：

S'={s0=（0，0，0.1），s1=（0，0.1，0.3），s2=（0.1，0.3，0.5），s3=（0.3，0.5，0.7），s4=（0.5，0.7，0.9），s5=（0.7，0.9，0.1），s6=（0.9，1，1.0）}

有时侯决策者会采用三角模糊数=（l，m，n）来表示各个专家对某些对象不确定的评价效用值。记=（l，m，n）表示三角模糊数，其左右隶属函数分别为f（x）=和f（x）=。相应的逆函数分别为g=l+（m-l）y和g=u+（m-u）y。显然它们在区间[0，1]上连续且严格单调。=（l，m，n）的左右数学期望分别是：

E=g（y）dy=（l+m）/2和E=g（y）dy=（u+m）/2

因此三角模糊数=（l，m，n）就可以转换成区间数[（l+m）/2，（u+m）/2]。

至此，我们已经可以将同时包含区间数、语言数、三角模糊数、区间直觉模糊数等多种模糊信息的混合型不确定决策矩阵化为较为简单的区间型多数性决策矩阵。

4.主要结果

本文针对同时包含区间数、语言数、三角模糊数、区间直觉模糊数等模糊信息的混合型决策矩阵求解其排序向量。

具体算法步骤如下：

步骤1 输入原始决策矩阵A=（aij）m×n，（aij可能为区间数、语言数、三角模糊数或区间直觉模糊数其中一种）首先，我们将原始混合型决策矩阵A转换成区间数决策矩阵A'=（a'ij）m×n，其中a'ij=[a'ij，b'ij]。

步骤2 对区间决策矩阵A'进行规范化得=（ij）m×n，公式为：

当属性j为成本型属性时：lij=a'lij/a'ukj uij=a'uij/a'lkj；

当属性j为成本型属性时：

lij=（1/a'lij）/（1/a'ukj） uij=（1/a'uij）/（1/a'lkj）。

步骤3 计算各个方案的综合属性值的值：

zi=ijωj ，i=1，2，...，m。

其中zi=[zli，zui]为第个方案的综合属性值。

步骤4 计算可能度矩阵P： P=（pij）m×m其中pij通过可能度进行比较得出。

步骤5 最后运用公式λi=，i=1，2，...，m得出方案的排序向量。

5.实例分析

考虑A1，A2，A3三个大学的学校评估问题。通常对大学的评估采用教学（B1）、科研（B2）、后勤（B3）及学生就业情况（B4）这四个指标。权重向量ω=（0.35，0.3，0.1，0.25）T。

决策者用区间数、实数、区间直觉模糊数和三角模糊数等多种形式来表示原始的决策矩阵A=（aij）m×n，，数据如下表。

下面用本文中的方法确定最佳候选人。

经过步骤1，2得规范化后的区间决策矩阵：

步骤3 计算各个方案的综合属性值的值：

z1=[0.249，0.411]；z2=[0.295，0.455]；z3=[0.253，0.389]

步骤4 计算可能度矩阵P=。

步骤5 最后得出方案的排序向量λ=（0.315，0.3867，0.3083）T所以我们综合四方面的指标得到A1，A2，A3三所大学的排序：z2>z1>z3，从而A2大学的综合评价最好。

【参考文献】

[1]徐玖平.多属性决策的理论与方法.北京：清华大学出版社，2006.

[2]张市芳，刘三阳.一种语言多属性群决策问题排序方法.决策参考，2007，24（9）：39-40.

[3]刘天虎，许维胜，吴启迪.一种基于残缺信息的多准则区间直觉模糊决策方法[J].2008.28（4）：936-938.

[4]徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用[J].控制与决策，2007，22（2）：215-219.