精心设计习题 切实减轻负担

数学学科要真正减轻学生负担，彻底纠正前往的“题海战术”现象，教师就要在提高习题“品位”上下功夫，以减少学生的习题量。要做到这一点，数学教师必须经历从布置习题到设计习题的观念转变。提倡教师自己动手设计习题，化大力气提高习题的质量。教师习题设计得好，还可以明显改变学生对做数学习题的“枯燥无味”感，提高他们的学习兴趣，从而达到提高教学质量和学生各种能力的目的。笔者结合多年的数学教学的实践谈谈习题设计的几种主要方式。

一、多变――规律式习题设计

在数学教学中运用多变式习题设计，选择适当的题型，变换条件和结论，得出新题，由一题变多题，引导学生将问题步步深化，克服思维定势，开阔思路，培养他们发散式思维能力，提高学生思维的敏捷性和解题的灵活性。

在教学过程中为了巩固对等腰三角形两底角相等的性质理解，对以下原题进行多变式设问。

例1 原题：“若等腰三角形的一个底角为55°，则其顶角是几度？“将原题的条件和结论作适当的变换，得到以下多变题组：

1、若等腰三角形的一个顶角为55°，则其底角是几度？

2、若等腰三角形的一个内角为55°，则其余的角各为几度？

3、若等腰三角形的一个内角为100°，则其余的角各为几度？

4、若等腰三角形的一个内角为A°，则其余的角各为几度？

一题多变是数学教师在执教中的惯用手法，笔者认为一题多变的关键是要使学生在变化中找出解答这类题目的规律，从而使复杂的题型简洁化。

例2 原题：已知2x-1=0，求x3+2x2+x+1的值。

变化（1）：已知x2+x-1=0，求x3+2x2+x+1的值。

变化（2）：已知x2+x-1=0，求xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an的值。

这是在给定条件下求多项式的值，原题很容易求值（解略），解法虽然极为简单，却是在给定条件下求多项式值的最基本方法。解变化（1）题时，由解原题时所得的启发，有些学生会从已知条件解得X值，然后代入多项式求其值，太繁，不可行。此时教师应及时启发学生：还有更好的解法吗？如果将多项式由三次改为更高次数的多项式，上述解法显然更行不通。如果条件改为x2+x+1=0，它没有实数根，对于初中学生来说，上述解法就“此路不通”了，怎么办？

分析 上述解法中先求出X的值，实质上是变更了题目的条件，在解变化（1）时，我们是否可以变更待求值的多项式x3+2x2+x+1，使之含若干个x2+x-1，即得x3+2x2+x+1=（x2+x-1）（x+1）+（ x+2）。如果把多项式x3+2x2+x+1由三次改为五次式、十次式……n次式，这时仍有xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an=（x2+x+1）（xn-2+……）+（kx+b），这样求多项式的值变成求kx+b的值。

二、多解――捷径式习题设计

不少习题可有多种解法，教师在教学中常用一题多解来培养学生创新思维的能力。但笔者认为，一题多解的关键是要使学生从多解之中找出捷径。那种追求形式越解越难的一题多解只会增加学生的负担，故一题多解习题一定要设计得当，确实让学生在多解中解得轻松。

该题有多种证法，方法一：利用切割线等定理来证；

方法二：利用相似三角形对应边成正比例、比式变换来证……但最佳方法是利用面积之比来证。由此可得，

AC2：AB2= SACP：SABP，且PC：PB= SACP：SABP，问题得证。以如此巧妙的构思解题使学生顿生豁然开朗之感。

三、陷阱――强化式习题设计

某些数学知识，教师仅仅在课堂上照本宣科或正面阐术并不能使学生加深印象和透彻理解，这时如果教师巧妙设计“陷阱”，有意识地让学生经受“挫折”，迫使他们寻找失误的症结和预防方法，从而给学后打上难以磨灭的烙印，有效地培养了学生思维的严密性，使他们在以后解题时不走或少走弯路。

例5 已知一扇形的周长为10cm，

（1）求扇形面积y关于半径x的函数关系式；

（2）求自变量半径x的取值范围。

让学生自己动手解，结果为：（1）解析式为：y=5x-x2；（2）取值范围为0＜x＜5（cm）。对此，教师先不作评论，而是向学生提问：“若半径为1cm，则这个扇形的弧长为多少厘米？该扇形所在圆的周长又是多少厘米？”经计算，结果前者为8cm，而后者为2πcm，即小于8cm，也就是说弧所在的圆周长小于该弧之长，此时学生恍然大悟，知道取值范围错了，应为：L=10-2x＜2πx， x＜x＜5。经历这类“失误”并得到矫正后，学生因此而大彻大悟，对这一经历过“陷阱”的知识点终身难忘。

四、组题――同类式习题设计

归纳分类、组题教学能使学生加深对知识的理解，培养学生举一反三的能力，使他们通过有限的练习，从中悟出共同的解题规律，使之从题海中解脱出来。题组形式很多，有叠加题组、串联题组、并联题组、同类题组、变式题组、专题题组……笔者认为从减轻学生负担而言，“同类题组”最有意义。

例6 （1）已知x、y为实数，x2+2y+y2-6x+10=0，求x、y。

（3）a、b为实数，求关于x、y的方程3x2+4y2-6ax-8by+3a2+4b2=0的实数解。

（4）已知a、b、c为ABC三边，且a2+b2+c2=ac+bc+ab，求证以a、b、c为三边的三角形是等边三角形。

（5）求证方程式x4-3x2+2x+5=0无实数解。

上述五个问题情景各不相同，但万变不离其宗，均可依据“任何实数的平方不小于零”这一条来解题，抓住了这一规律，上述这些貌似繁杂的习题就迎刃而解了。

通过以上四种习题设计的主要方式的阐述，概言之，它的主要优点在于：解题思路开阔，解题方法类聚，思维规律性强；不但有利于提高学生的解题能力，而尤其有利于培养学生类比、归纳、猜想和探索的能力。