立足教材,培养转化思想

转化思想的核心体现为：将新的转化为旧的；将复杂的转化为简单的；将抽象的转化为具体的；将未知转化为已知等过程.那么在平常的学习活动中，如何有效地去培养和训练转化意识呢？笔者认为，要重视课本使用，将问题回归到数学教材中去.教材是学生学习数学的主要教材，但是在实际的教学过程中，课外教辅资料的过度使用，不仅加重了学生的学习负担，而且学生学习过程舍近求远，本末倒置，效率低下.只有对教材充分理解，才能更好地巩固好双基，避免出现概念不清、思维僵化、无从入手、方法不当等问题.因此，只有立足教材，才能追本溯源，才能联系基础知识对数学问题实施自然而又合理的转化.

一、将复杂结构向简单结构转化，探索问题本质

【例1】（2011年全国高中数学联赛一试（A卷）第2题）函数f（x）=x2+1x-1的值域为.

分析：本题要求函数y=f（x）的值域，从函数表达式的结构上看，如果分母能转化成x的话，只要对x分正负讨论即可，即思考函数y=f（x）与y=f（x+1）的值域关系问题，本质上，由函数的图像和性质可知，如果函数y=f（x）沿着x轴方向左右平移的话，函数的定义域发生变化，但是值域始终是保持不变，此题即被转化为去求函数g（x）=（x-1）2+1x的值域问题.

首先，函数y=g（x）的定义域为{x|x≠0}.所以，当x>0时，y=1+2x+2x2=21x+122+12>1；

当x

二、将抽象问题向具体问题转化，培养数学思维

【例2】若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2成立，且当x>0时，f（x）>-2.

（1）求证：f（x）+2是奇函数；

（2）求证：f（x）在R上是增函数；

（3）若f（1）=-1，f（log2m）

分析：（1）由教材可知，要证明一个函数g（x）的奇偶性，只要说明对定义域内任意的x，都有g（x）=g（-x）或g（x）=-g（-x）；亦等价于g（x）-g（-x）=0或g（x）+g（-x）=0.

首先，函数f（x）的定义域为R，即对任意x的都存在-x使得f（x）有意义.那么将f（x）+2看成一个整体，令g（x）=f（x）+2，则由g（-x）=f（-x）+2得到，g（x）+g（-x）=f（x）+2+f（-x）+2=f（0）+2；下去求f（0）：若x1=x2=0，则有f（0）=2f（0）+2，可知f（0）+2=0，即有g（x）+g（-x）=0，可知f（x）+2为R上的奇函数.

为了说明其为奇函数，还要证明它不是偶函数，否则它就是既奇又偶函数.同理，若x1=-x，x2=x，则有：g（x）-g（-x）=f（x）-f（-x）=f（2x）+2，由条件可知g（x）-g（-x）不恒为0；所以f（x）+2，是奇函数.

（2）由教材可知，要证明函数的单调性，首先只要假设对定义域内的任意的x1，x2，若x1

由题意知：f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）+2，又当x2-x1>0时，f（x2-x1）>-2，所以f（x2）-f（x1）>0，即f（x2）>f（x1），由此可知f（x）在R上是增函数.

（3）已知f（x）在R上是增函数，解不等式f（log2m）

三、将未知结论向已知条件转化，提升数学能力

【例3】设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=.

分析：由条件m∈R，由f（m）=g（m）代入得到a（b+sinm）=b+cosm；又a，b均为大于1的自然数，将角m的正弦、余弦整理到等式的右边得到：b（a-1）=cosm-asinm=a2+1cos（m+φ），得b≤a2+1a-1；由例2可知：当自然数a≥2时，有f（a）=a2+1a-1∈（1，5），所以1

又当b=2时，有2≤a2+1a-1，即：3a2-8a+3≤0，不难发现只有当a=2时，此不等式成立；