浅析GPS高程拟合在工程测量中的应用

摘要：随着科学技术的快速发展，GPS导航定位以其高精度、全天候、高效率、多功能、低成本、操作简便、应用广泛等特点，在工程测量上被广泛应用。本文就几种常见高程系统关系和方法及工程测量中高程拟合应注意的问题进行了分析探讨。

关键词：工程测量GPS高程拟合方法问题分析

前言

用GPS进行控制网测量已基本取代了传统的三角测量，其可以提供高精度的平面控制测量。但由于在高程方面受坐标系不一致的影响，其精度一直被认为不太可靠，这在一定程度上使GPS测量能直接进行3维坐标量测的优越性不能很好地体现。GPS能提供地面点精确的3维坐标值，其精度可达到107量级，但GPS采用的是WGS84地心坐标系，其高程信息是以椭球面为参考面，这与我国规定的正常高采用的参考面不同，所以研究大地高与正常高之间的转换方法，实现GPS所测得的大地高转换成正常高，以方便工程应用，是测绘工作者要解决的一个重要课题。对于未进行大地水准面精化的地区，为了实现GPS高程与正常高之间的转化，满足一般工程需要，可以通过高程拟合的方法实现其转换。

一、几种常见的高程系统关系

1.正高系统。正高系统就是以大地水准面为基准面的高程系统，地面一点的正高就是该点沿铅垂线至大地水准面的距离，用Hg表示。由于其与地壳质量分布及密度密切相关，所以无法将它精确求定。

2.正常高系统。它是以似大地水准面为基准面的高程系统，正常高用h表示。我国规定采用正常高系统作为计算高程的统一系统。

3.大地高系统。地面点沿法线至椭球面的距离为大地高，用H表示。大地高以参考椭球面为高程基准面。

4.高程系统的转换。由于大地水准面与椭球面一般不重合，我们把地面点P沿铅垂线投影到大地水准面P0时，PP0间距离为正高Hg；在将点P0沿法线方向投影到椭球面上得点Q0，P0Q0间距离称为大地水准面差距N,H=Hg+N。

似大地水准面与椭球面也不重合，它们之间的高程差称为高程异常，用ζ表示。如图1所示，此时大地高为：H=h+ζ。

在实际的工程应用中，由于区域似大地水准面精化并没有普及，因此，考虑到在范围不大的区域中，高程异常具有一定的几何相关性，所以几何的高程拟合方法仍然有较广泛的应用。GPS高程拟合就是利用这一原理，采用数学方法，求解GPS观测点的正常高(如图1所示)。

二、几种常用的高程拟合方法

1.多项式拟合法

一次多项式

二次多项式

通过公共点上GPS测定的大地高和水准测量测定的正常高计算出该点上的高程异常ζ，存在这样一个公共点就可以依据上式列出一个方程：

若有m个这样的公共点，就可以依据上式列出m个方程，其中i=1,2，…，m；由此可见，当m=6时，有6个未知数，6个方程我们可以唯一确定系数的值。从而得到一个高程异常与点的坐标之间关系的二次多项式。

在测量中我们进行计算时都要求有多余的观测值，从而求得最或然值。所以一般要求m>6，通过最小二乘的方法得到多项式的系数。即有误差方程式：

所以， =(ATPA)－1(ATPL)，对于权阵P，我们可以根据水准高程和GPS所测大地高的精度加以确定。

2.多面函数拟合。美国人Hardy于1977年提出多面函数拟合法，并将其用于地壳垂直形变分析。该方法基于这样的思路：任何一个圆滑的数学表面总可以用一系列的有规则的数学表面的总和以任意精度逼近，则任意一点(x，y)处的高程异常值 (x,y)可以表示为：

式中，核函数一般采用如下的正双曲面函数：

通常令光滑因子=1，2，⋯，凡为所选的节点号，共有凡个节点。若有m个拟合点，则：

其中i=l，2，…，mj=l，2，…，n

所以，其最小二乘解为,P为权阵，这里的P1为权系数，显然P1的大小代表了。在确定(x，y)中所作的贡献大小。

三、实例计算

现有某测区的12个已知水准高程点，并对其进行了GPS观测，得到各点在WGS一84坐标系中的大地高，现把点D01，D03，D05，D06，D07，D09，D12作为已知数据，拟合出点D02，D04，D08，D10，D11的高程异常，然后与所测的高程异常作比较，表1为通过不同方法得到的拟合结果。

从表l中的结果可以看出，采用不同的拟合方法，得到的拟合成果有所差异。数据显示，一次多项式拟合在本测区中的拟合结果优于二次多项式，这说明在本测区所选点拟合出的一次多项式比二次多项式更能体现出本测区内高程异常的变化规律。一次多项式拟合和多面函数拟合的拟合结果没有明显的优劣之分。

四、工程测量中高程拟合要注意的问题

上面介绍的几种拟合方法属于纯几何的方法，所以适合高程异常变化较为平缓的地区。一般情况下，平原地区或地面起伏不大的地区高程异常变化比较缓慢，而山区的高程异常变化比较剧烈。由于影响高程异常的因素比较多，所以高程拟合这种方法的准确度有限。研究表明，这种方法在高程异常变化平稳地区可以达到四等水准的精度，完全可以满足一般的工程测量所要求的精度。对于高程异常的已知点高程异常值，我们一般是通过在水准点上布设GPS点或者对于GPS点进行水准联测，得到该点的大地高和正常高，从而求得该点的高程异常值。在进行高程异常拟合时，所选拟合点要有足够的密度，且均匀分布，要分布在整个测区。这样要求的目的是使拟合出的高程异常曲面更好地体现高程异常的变化趋势。而且在高程拟合时，可以多考虑几种方法，通过对几种方法的拟合结果做比较，选择数据理想的拟合成果。

结语

GPS测量具有速度快，精度高，全天候等优点，如何把GPS所测高程值转换成我国所使用的正常高，是测绘工作者一直研究的问题，GPS高程拟合方法在一定程度上满足了部分测量人员的要求，经过我们科学设计、精心施测。就可以建立满足我们工程要求的GPS高程控制网，通过GPS高程拟合得到观测点的正常高。这种方法充分地发挥了GPS测量的优越性，大大减少了几何水准测量的工作量，提高了经济效益。需要指出的是，GPS高程拟合还存在很多局限性，对于普通工程测星其精度是可以满足使用要求的，但对于一些高精度的高程测量还是不能满足需要。这就要研究出一种更精确的转换模型使高精度的大地高能更好地转换到正常高系统中，方便更多的用户，这是测绘科研人员应该不断探讨的课题。

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。