必胜客传菜服务系统最优化研究

摘要:以必胜客餐厅传菜工作站为研究对象,定义为传菜服务系统,通过对其的观察和实际数据的统计分析,确定运用排队系统进行分析,并运用了系统工程中的相关分析方法,实现该传菜服务系统总费用的最低化和系统最优的服务人员配备数,达到系统最优化。

关键词:必胜客;排队论;传菜服务系统

中图分类号:F120.3文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)07-0175-03

一、背景分析

1.传菜服务系统。必胜客欢乐餐厅的传菜工作站是怎样运行的呢?我们可以看到在餐厅的一角,设置有一个吧台,吧台前会站有服务员(人数不等),并手持托盘。顾客所点的餐点都会在这个位置被接出,然后由这些服务员来送到相应顾客所在的餐台,我们称之为传菜,而显然这一块相对于点餐等其他服务是被独立出来的。

2.系统分析。由于就餐的客人到之后进行点餐。餐厅的后台接到前台的输单后开始烹饪食品,产生熟食。到达吧台的熟食是接二连三的,那么在这个系统中到达吧台的每一道熟食都有可能排队等候,然后由服务员接出、传走,然后离开系统,可见在吧台的熟食存在着排队现象,因此可视为一个排队系统。在这个系统中,每一道熟食即可看做需要接受服务的顾客,每一个服务员即服务台,服务员对每一道熟食的处理服务即服务方式。其次,在该系统中,可观察到几位服务员对到达吧台的熟食的处理是独立的,到达吧台的熟食按照先到先服务的方式接受服务,而对于先到的熟食由谁来传送是随机的,也可以说服务员之间是并列的。由于每个传菜服务员的技能熟练程度、传送速度以及与就餐客人交涉的内容不同,使得传菜服务员对熟食的处理服务时间不同。

其特征如下:熟食到达吧台时,如所有服务员全被占用,则只排一队等候,哪个服务员完全空闲时,等候中的熟食按先后顺序由空闲的传菜服务员来处理,即先到先服务,且为等待制,也就是说每一道熟食接受服务需要等待。

3.服务机构。其特征如下:服务机构有多个服务员(服务台);多个服务员之间是平行排列的且独立;服务方式对单道熟食进行;服务时间是随机的;处理时间的分布是平稳的。

二、模型的建立

1.数据收集与整理。调查所在的必胜客欢乐餐厅每天营业12个小时,即10:30～22:30;根据系统描述,可知服务时间是随机的,假定服务时间的分布平稳,即分布的参数不受时间的影响,调查内容是单位时间内到达传菜服务系统的熟食数与服务时间,其中对周末与节假日不作统计,因为这段时间餐厅的客流量极大,应分开作研究,但规律是一致的。

(1)单位时间内到达传菜服务系统得熟食数:设定每一分钟为一个调查单位,随机调查94个调查单位,记录每个调查单位内到达传菜服务系统的熟食数(见表1)。

表1单位调查时间内的熟食数和频数

(2)服务时间:选定20位服务员作为统计对象,实际统计(见表2);从而确定传菜服务系统内每位服务员对每一道熟食的平均处理服务时间为26秒钟。

表2 每道熟食服务时间及频数

2.拟合检验。对输入过程和服务时间的统计推断,采用拟合优度的x2假设检验,判定文章所研究的排队系统符合哪种分布模型。

(1)每一道食物在顾客点餐后并由服务员输单之后开始做,在一定的时间间隔后产生熟食并到达吧台,即输入系统;设N(t)表示在时间间隔[0,t]内到达的熟食盘数(t>0),定义Pn(t1,t2)表示在[t1,t2]内有n个到达的概率,则:

Pn(t1,t2)=P{N(t2)-N(t1)=n},(t2>t1,n≥0)

系统基本符合如下三个条件 [2]:

①在任意两个互不重叠的时间间隔内熟食到达的数量是相互独立的;②在[t,t+Δt]这段时间内熟食到达的数量只与时间间隔的长度Δt有关而与起点时间t无关,即:p(t,t+Δt)=λΔt+ο(Δt);③在充分小的时间间隔Δt内,最多只有一道熟食到达,即:pn(t,t+Δt)=ο(Δt);由以上条件可知,截至时刻t有n道熟食到达的概率Pn(t)。

即:Pn(t)=t>0,(n=0,1,2,…,k)。

由以上的三个条件可以判断输入过程符合泊松分布,下面我们作进一步的验证:

单位时间熟食平均到达:λ==2.1944; 计算概率:pi=e-λ(i=0,1,…,4)

计算理论频数:f i =94Pi;求的值x2=:

通过Excel,计算过程如下表:

表3卡方检验过程

所以,x2=0.0214+0.0000+5.1459+0.5993+0.6360=6.4027;取α=0.05,自由度为3,查表得临界值x20.05(3)=7.81;可见,x2

(2)服务时间的分布:当单位时间内系统的熟食到达,即输入过程为泊松流时,那么熟食相继到达的间隔时间T必服从负指数分布,这是因为对于泊松流,在区间[0,t]内至少有1道熟食到达的概率为:

1-P0(t)=1-e-λt,t>0

其次,当服从负指数分布时,其分布函数为:FT(t)=

1-e-λt,t≥00,t

因此,相继到达的间隔时间是独立且为同负指数分布(密度函数为λe-λt,t≥0),与输入过程为泊松流(参数为λ)是等价的。

对一道熟食的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两道熟食的间隔时间,服从负指数分布。这时它的分布函数和密度分别是:F(t)=1-e- v t,f(t)=ve - v t;其中表示单位时间能被服务完成的熟食数,称为平均服务率,而1/v表示一道熟食的平均服务时间,这里平均就是期望值。所以,在该系统中平均服务率:v=2.3077道/分。

4.系统模型。由以上论证可知该传菜服务系统符合排队论模型中的M/M/C排队模型(M代表泊松输入或负指数分布,C代表多个服务台)。即熟食到达服从泊松分布、服务时间服从负指数分布、多个服务员(服务台)的排队系统。这样的排队系统,有以下几个重要运行指标:

(1)在排队系统中熟食数的期望值LS,它是指正在接受处理服务和排队等待处理服务的两类熟食的平均值;(2)在队列中等待处理服务的熟食数的期望值Lq;(3)熟食在系统中全部时间的期望值WS,即熟食排队等待时间和接受处理服务时间总和的平均值;(4)熟食排队等待时间的期望值Wq;(5)服务强度ρ,它反映了传菜服务系统中服务员的工作强度,其值越大,说明需接受处理的服务队列越长,传菜服务员空闲时间越少;反之则然。

三、模型的求解

(一)模型计算

1.运行指标的计算。平时必胜客餐厅的传菜服务系统中,熟食的平均到达率λ为:2.1944道/分钟,每个传菜服务员的平均服务率v为:2.3077道/分钟。系统指标的计算值如下表:

表4系统指标的计算

2.M/M/C系统中C的最优值求解。求解M/M/C系统模型中C的最优解,这里通过建立C的目标函数 [3] 来分析。

对于在系统达到稳态的情形下,这时单位时间全部费用(服务成本与等待费用之和)的期望值:

z=c's•c+cw•L (3.1)

其中,c是服务台数(传菜服务员人数),c's是每位传菜服务员单位时间的成本,cw为每道熟食在系统停留单位时间的费用,L是系统中熟食的平均数Ls,并且c's与cw都是给定的值,唯一可变动的是服务台数c,所以z是c的函数z(c),现在求得最优解c*使z(c*)最小即可。

因为只能取整数值,不是连续变量的函数,所以不能用经典的微分法,文章采用边际分析法 [4],根据最小的特点,我们有:z(c*)≤z(c*-1)z(c*)≤z(c*+1);将公式(3.1)式中z代入,可得:

c′sc*+cwLs(c*)≤c's(c*-1)+cwLs(c*-1)c′sc*+cwLs(c*)≤c's(c*+1)+cwLs(c*+1),化简后得:

L(c*)-L(c*-1)≤c′s /cw≤L(c*-1)-L(c*)(3.2)

依次求c=1,2,3,…时L的值,并作两相邻的L值之差,因c′s /cw是已知数,根据这个数落在哪个不等式的区间里就可定出最优解c*,这一区间为最优区间。

(1)c′s 与cw值的确定:

①在必胜客欢乐餐厅中,从事服务工作的员工即服务员都是小时工,按小时计酬,每小时7元;因此,就可确定每个服务台单位时间的成本,即c′s =7/60元/分钟。

②对于cw的值,即每道熟食因在系统中等待停留给系统带来的损失,该值不存在经验值同时包含着不确定因素,因此文中把其看做一个统计值,并用三点估计法 [4] 来求得。

三点估计法公式:E=(T0+4Tm+Tp)/6。(3.3)

其中,T0代表乐观判断的损失值,Tm代表损失的大概估计值,Tp代表悲观判断下的损失值。

在必胜客欢乐餐厅中,我们可以发现顾客最不能够等待的便是饮料;首先,饮料在西式的就餐顺序中排在第一位,其次,对于饮品来说,都是现成品,只要盛装好就可传送上桌。因此,顾客对饮料的等待时间的期望值很小,饮料在传菜服务系统中停留时间过长,超过顾客的等待忍耐时间,顾客通常会退掉所点的饮品,这对于我们来说已是最乐观的情况。按照平均一桌饮料的价值45元来说,可得:T0=45/60元/分钟。

而在悲观的情况下,熟食在传菜服务系统中停留时间过长,顾客等待不耐烦,会向经理反映,同时会影响到顾客下次来必胜客欢乐餐厅就餐的信心。因此,为了挽救我们要采取相应的措施,如给客人打5折,按在必胜客欢乐餐厅每桌消费的平均值来数为200元,在此,我们可得悲观情形下的损失值:Tp=200*(1-0.5)/60=100/60元/分钟。另根据必胜客店里的情况,可确定损失的大概值为:Tm=80/60元/分钟。所以:cw=E=465/(6*60)元/分钟。

(2)由(1)部分可知:c′s /cw=0.0903。

(3)已知对于该系统:Ls=Lq+cρ=p0+cρ;其中,p0=+-1。其次,已知系统中:λ=2.1944,v=2.3077,λ/v=0.9509;并令服务台及传菜的服务员人数依次为1、2、3、4、5。如表4中指标的运算,计算过程如下:

表5 不同c下的熟食期望值的求解

①将值代入公式3.2得表:

表6最优解的确定

可见,c′s /cw=0.0903落在区间(0.0903～0.2404)内,c*=3;即以3个传菜服务员使总费用最小,直接代如公式(3.1)也可验证:z(c*)=z(3)=1.6264(元);因此:c的最优解为3。

(二)对计算结果的分析

对符合M/M/C模型的传菜服务系统最优的传菜服务员人数的进行研究,必须在系统稳态的情形下,因此我们只计算了服务强度ρ1,系统不稳定,肯定会有越来越多的熟食排队等待。

通过对传菜服务员人数C建立关于总费用的目标函数z(c)进行分析求解。因为服务员的人数必然为非负的整数,因此是一个离散的变量,所以通过边际分析法来分析,通过对传菜服务系统的分析和计算,可得C的最优解为3,且此时系统单位时间内的总费用最低。

因此,在没有其他条件的情况下,平时(周末、节假日除外)该家必胜客欢乐餐厅要实现传菜服务系统的最优化,总费用最低,其管理层应适时的调整传菜服务人员的配备,用M/M/3系统,即在吧台配备三位服务人员,作为其传菜服务系统的最优值。

参考文献:

[1]范文字,苑辉.基于排队论的银行排队问题研究[J].湘潭师范学院学报,2006,(1):27-30.

[2]徐光辉.随机服务系统[M].北京:科学出版社,1988:243-230.

[3]《运筹学》教材编写组.运筹学:修订版[M].北京:清华大学出版社,1990:311-317.

[4]顾凯平,郝建华,高孟宇.系统工程学导论[M].北京:北京林业大学出版社,1997:56-63.