刻度平方误差损失下二项分布参数的Bayes估计问题

摘要: 对给定容量为n的二项分布样本X1,X2,…,Xn，在刻度平方误差损失函数下，利用共轭先验分布讨论二项分布参数θ的Bayes估计，得到了该参数的Bayes估计可容许性的一个充要条件，并给出多层Bayes估计的表达式.

关键词: 二项分布；刻度平方误差损失函数；Bayes估计；多层Bayes估计

中图分类号:O 202.1

文献标志码:A文章编号:1672-8513(2011)06-0486-04

The Bayesian Estimation Question for Binomial Distribution Parameter under Scale Squared Error Loss

TAN Ling,SUN Kun,LI Jinyu

(School of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116,China)

Abstract: In this paper, the binomial distribution given the sample size n is in the scale squared error loss function, and the binomial conjugate prior distribution parameters is used to discuss the Bayesian estimation. It obtains a necessary and sufficient condition of Bayesian estimation allowed for the parameter, and gives the expression of the multi-layered Bayesian estimation.

Key words: binomial distribution; scale squared error loss function; Bayesian estimation; multi-layered Bayesian estimation

1 预备知识

Bayes分析是英国学者Bayes首次提出的，在20世纪后半叶发展迅速,它与经典统计学的差别在于是否使用先验信息.经典统计学只利用样本信息,而Bayes分析把先验信息和样本信息结合起来用于推断中，形成非决策的分析，统计方法是建立在先验信息上的，因此用Bayes方法对参数的估计比经典统计学对参数的估计更准确.

二项分布是成败型试验中常遇到的分布之一，日常生活中的许多实际问题都可以用二项分布来描述，如在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题.在寿命保险问题中，应用二项分布原理研究在一定的时期里参保人员的死亡人数、保险公司的利润问题以及保费问题.此外,婴儿的出生率、高速公路上行驶车辆发生车祸的概率分布问题都属于二项分布.所以对其研究有着重要的意义.

近些年来很多学者对二项分布进行了很多研究，宋立新[2]在刻度平方误差下研究了Poisson分布参数的Bayes估计.韦程东[3]在对称损失下研究二项分布参数的Bayes估计、多层Bayes估计、E-Bayes估计，并通过数值模拟比较了3者之间的优良性，本文在刻度平方误差损失函数下求出参数θ的Bayes估计，多层Bayes估计，并证明该参数的Bayes估计的估计量在k满足一定条件下是可容许的.

设事件A出现的概率为θ0≤θ≤1，在n次独立实验中，A出现k次k=0,1,…,n的概率为fxθ=nxθx1－θn－x.如何根据试验数据x1,x2,…,xn来对未知参数θ作估计，经典方法是根据现实样本X1,X2,…,Xn对θ作出估计.Bayes方法是把θ看作随机变量，赋予它一个先验分布πθ，结合现实样本，应用Bayes公式来对θ作估计.

定义1 设随机变量X服从密度函数为fxθ的分布,其中θ为参数,如果δ为θ的参数空间中的一个估计,则刻度平方误差损失函数为[1]

Lkθ,δ=θ－δ2θk,（1）

其中k为非负整数.可知这个损失函数关于δ是严格凸的,且在δ=θ处取得唯一的最小值.

2 参数θ的Bayes估计

设X1,X2,…,Xn是容量为n的简单随机样本,x1,x2,…,xn为X1,X2,…,Xn的实现值，由fxθ=nxθx1－θn－x得X1,X2,…,Xn的联合密度函数为

fx1,x2,…,xnθ=∏ni=1nxiθxi1－θn－xi=∏ni=1nxiθ1－θT1－θn2， （2）

其中T=∑ni=1xi，参数θ的共轭分布为Beta分布记为βa,b，a>0,b>0.

为了得到参数θ在给定先验分布下的Bayes估计，先给出一个引理.

引理1 在刻度平方误差损失函数（1）下，对于θ的任一先验分布πθ，θ的Bayes估计为

δx=Eθ1－kxEθ－kx ，（3）

若δx的Bayes风险有限，则它还是唯一的Bayes估计.

参考文献:

［1］莱曼. 点估计理论［M］.2版. 北京: 中国统计出版社, 2005.

［2］宋立新, 陈永胜, 许俊美. 刻度平方误差下Poisson分布参数的Bayes估计［J］. 兰州理工大学学报, 2008, 34(5)：152-154.

［3］韦程东, 韦师, 陈志强. 对称损失下二项分布参数的Bayes估计问题［J］. 华中师范大学学报:自然科学版, 2009, 43(3)：367-372.

［4］范金城, 吴可法. 统计推断引导［M］. 北京:科学出版社，2001.

［5］周燕燕. 二项分布可靠度的Bayes估计［J］.西安文理学院学报：自然科学版，2008, 11(4)：50-53.

［6］夏开萍. Poisson分布的几种置信区间的比较［J］. 云南师范大学学报：自然科学版, 2009, 29(3) : 27-29.

［7］左艳芳,刘伟. 非线性再生散度模型两种估计方法的比较［J］. 云南民族大学学报：自然科学版, 2008, 17(4)：320-323.

［8］茆诗松, 王静龙. 高等数理统计学［M］. 北京: 高等教育出版社, 1998.

［9］吴清. 二项分布的几种经验 Bayes估计方法［J］. 重庆工商大学学报：自然科学版，2006, 23(5): 465-468.

［10］张尧庭, 陈汉峰. 贝叶斯统计推断 ［M］. 北京: 科学出版社, 1991.