阶差分Neumann边值问题解的存在性

摘 要 利用临界点理论，先将边值问题的解转换为相应泛函的临界点，再利用鞍点定理得到该泛函的临界点的存在问题，进而得到边值问题解的存在性。

关键词 阶差分方程 解的存在性 鞍点定理 Neumann边值问题

中图分类号：O175.08 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2016.03.022

1 引言及主要结果

近年来，差分方程的研究越来越受到大家的关注，其中周期解以及边值问题的研究最为广泛。之前大家对差分方程周期解的存在问题，边值问题采用的都是古典的方法，①即先找到相应的Green函数，再将问题转换为算子不动点问题，进而利用相关的不动点定理和拓扑度理论来讨论解的存在性。自2003年，②庾建设教授等人将临界点理论应用于差分方程的研究后，我们发现该方法为差分方程的学习开辟了新的方法。并且，较之前的方法，临界点理论③更为方便高效。之前关于差分Neumann边值问题的研究多是低阶④⑤的，高阶⑥⑦的相对较少。

令、分别表示实数集和整数集，表示自然数集。

HO， ≤定义 = {， + 1， …}， = {， + 1， …， }。本文主要考虑以下阶差分方程

（） + （，） = 0， （1.） （1.1）

在Neumann边值条件 = = … = = 0， = = … = = 0 （1.2） 下解的存在问题。是任意的正整数，且有>。这里HU为向前差分算子，其中 = ， = HU（HU）。（（1，）？），是一组给定的非零的序列。令

（） = （） （1.3）

其中（ ）= （ ），且有

= （）（ ）， HO（1，）

因此是边值问题（1.1）-（1.2）的解当且仅当是在上的一个临界点且满足条件（1.2）。*表示一个向量的转置，令 = {， ， …， }*则存在一个阶矩阵使得 = （），那么（1.3）式可以如下表示：

（） = （）（） （1.4）

这里 （） = （ ），设（）表示的所有特征值构成的集合。

定义1.1 设是一个实Banach空间，（）满足Palais-Smale条件（简称P.S.条件），如果对任给的{}，{（）}有界，当时（）蕴含{}有收敛的子列。记 = {：||||

引理1.1 （鞍点定理⑧）设 = 是一个Hilbert空间，其中≠{0}是的一个有限维的子空间。若（）满足P.S.条件且满足：

（1） 存在常数>0，>0使得≤，

（2） 存在和常数>使得≥，

那么有临界值≥，且 = （（）），%m = {（∩， ）： = }其中表示∩上的恒等算子。

2 主要结论及其证明

定理2.1 假设存在一个常数（），对任给的（1，）有

（ （）） = 0 （2.1）

那么边值问题（1.1）-（1.2）至少存在一个非平凡解。

证明： 设 = ， = |||| 2。其中是一个阶单位矩阵，由已知条件知0（），方程（1.4）可转换为

（） = （） （2.2）

设 = {|||（）}，有>0。取定（0，），由（2.1）式知，存在一个正常数使得

O（ ）O≤|| + ，（1，）。 （2.3）

因此有

||HV|| =

≤≤|||| +

这里 = {：（1，）}。下面我们就两种情形来证明。

情形1：当≠HT时。

要证明泛函存在临界点，可以运用引理（1.1）。首先，我们证明满足P.S.条件。设，（1）使得{（）}几乎处处有界，且当时（）0。存在，当>时，有||（）||≤1。因此

|||| = ||（） + HV（）||≤||（）|| + ||HV（）||≤1 + |||| +

由于0（），所以 = 。令 = + ，其中，那么有

||||2 = || + ||2 = ||||2 + ||||2 ≥||||2 + ||||2 = ||||2

因此对任给的>，||||≤||||≤|||| + + 1也就是说||||≤

可以看到{}有收敛的子列，因此满足P.S.条件。下面我们只需证明满足引理1.1的两个条件即可。由（2.3）式可以看出|（）|≤||||2 + ||||，那么对任给的，有

（）≥（）|（）|≥||||2 ||||2 ||||

= （）（||||）2 （2.4）

设 = ，那么对任给的，有（）≥，此时 = 0， = ， = 。

对任给的 = ，有

（）≤（） + |（）|≤||||2 + ||||2 + ||||

= （）（||||）2 + ||||

根据定义知

情形1：当 = HT时。

是正定的，（2.4）式意味着当||||时（）。也就是说可以在某一点取到最小值，其中（） = 。所以即为边值问题（1.1）-（1.2）的解。

注释

① Agarwal ，RP， Wong， FH： Upper and lower solutions method for higher-order discrete boundary values problems， Math. Inequal. Appl. 1 551-557 （1998）.

② Guo， ZM， Yu， JS： Existence of periodic and subharmonic solutions for two-order superlinear difference equations， Sci. China Ser. A. 33 226-235 （2003）.

③ 张恭庆.临界点理论及其应用[M].上海：上海科学出版社，1980.

④ Liu， X， Zhang， YB， Shi， HP： Periodic solutions for fourth-order nonlinear functional difference equations， Math. Meth. Appl. Sci. 38 1-10 （2014）.

⑤ Liu，X，Zhang，YB，Shi，HP： Noexistence and existence results for a class of fourth-order difference Dirichlet boundary value problems， Math. Meth. Appl. Sci. 38 691-700（2015）.

⑥ Zhou， Z， Yu， JS， Chen， YM： Periodic solutions of a 2nth-Order nonliner

⑦ 周展，庾建设，陈玉明.2n阶非线性差分方程的周期解[J].中国科学：数学，2010.40（1）：33-42.

⑧ Rabinowitz，PH：Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equatins， Amer. Math. Soc. Providence， RI， USA， 65（1986）.