巧妙设计 突破难点

【摘要】依据基础设计具有探索性的问题，紧紧围绕“3的倍数有什么特征”开展学习活动；创设情境，在浓厚的探索氛围之中探究新知；积累数学活动经验，感悟数学思想方法，形成自主探索知识和解决问题的能力。

【关键词】激活；探究；练习；建构

教材简析

这部分内容是在学生学习2、5的倍数的特征的基础上，来探究学习3的倍数的特征，为以后学习分解质因数、求最大公因数和最小公倍数以及分数的约分和通分打好重要基础。知识的学习由易到难，符合学生的年龄特点和认知规律。

教材通过一个例题和“做一做”，让学生自主探究发现3的倍数的特征。由于2、5的倍数特征体现在数的个位上，与3的倍数特征相比较，规律比较明显，而3的倍数的特征学生较难发现，并且易受2、5的倍数的特征的影响，给教学带来一定的难度。例题首先安排找出3的倍数，再引导学生通过不同角度观察、猜想、验证，逐步归纳概括出3的倍数的特征。“做一做”是在学生初步掌握3的倍数特征的基础上判断和写3的倍数，重点强调各个数位上数字的和是3的倍数，它就是3的倍数。

教学实践

一、激活经验

复习旧知，揭示课题。

师：上节课我们学习了2和5的倍数的特征，请用学过的知识解答。

课件出示：想一想，填一填，说一说。

25 36 60 45 59 72 83

2的倍数 5的倍数

学生活动：在作业纸上填一填。

师：回顾一下，我们是怎样发现2和5的倍数特征的？（板书：找出倍数―观察比较―发现特征）

师：我们上节课通过找2和5的倍数，对找出的数进行观察、比较，分别发现2和5的倍数的特征。今天，我就按照这样的过程，探索、寻找3的倍数的特征。（板书课题）

[设计意图：“3的倍数特征”属于数论的范畴，离学生们的生活较远，教师从学生已有的知识出发，让学生先复习运用2、5的倍数特征，在具体的数学题目中，多数学生能快速找到2和5的倍数，通过集合圈的形式能够巩固学生对2和5的倍数特征的理解。然后回顾2和5的倍数的特征发现的过程：找出倍数―观察比较―发现特征，通过谈话揭示新的问题：3的倍数特征，运用负迁移使学生引发猜想、产生强烈的探索欲望。]

二、探究新知

1.提出猜想，引导质疑

师：我们知道2的倍数，个位上是0、2、4、6、8；5的倍数，个位上是5或0。那你能猜想一下3的倍数会有什么特征吗？说说你的想法。

许多同学认为，3的倍数可能是个位上是3、6、9的数。（板书：3的倍数，个位上是3、6、9？）

师：利用以前的经验学习新内容，是不错的学习方法。今天大家联系2和5的倍数的特征这样猜想，想法是很好的，数学学习经常可以这样类推。那这一次的猜想还对不对呢？大家来看几个数：23是3的倍数吗？16和59呢？

[设计意图：让学生猜想，一般受2和5的倍数特征的影响，按思维惯性，可能许多学生会猜测个位上是3的倍数。猜想应该看个位上的数，这是十分正常的思维现象，也是探索问题的开始。这时教师拿出实际的数，使学生发现猜想不正确，形成思维冲突，产生积极的学习动机和探求欲望。]

2.利用经验，主动探究

（1）找出3的倍数

课件出示：

师：在表中将3的倍数用荧光笔涂上红色。

学生活动：用荧光笔涂色，交流、呈现所涂的3的倍数，有错的修正。

（2）探索特征

师：横着看，前10个3的倍数，个位上分别是哪些数字？

学生活动：很快找到前10个3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30；讨论发现个位上的数有：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。3的倍数个位上可以是任意数。

师：判断一个数是不是3的倍数，只看个位行吗？

[设计意图：通过讨论、交流前10个3的倍数，学生发现找3的倍数仅仅看个位上的数字是不行的，现在前10个3的倍数的个位从0到9都有。给学生自主思考的时间，横着看不行，还可以怎么看？仅仅看个位不行？还要看什么位？努力激发学生多角度思考。]

师：横着看不行，还可以怎么看？你发现什么？

学生活动：分组讨论、交流。

全班交流：哪一小组来汇报一下有什么发现？是怎么发现的？

师：根据大家的发现你能说说3的倍数有什么特征码？

[设计意图：学生从涂色的部分很快发现可以斜着看，并且很快会发现：3、12、21；6、15、24、33、42、51；9、18、27、36、45、54、63、72、81；93、84、75……发现3的倍数的数个位和十位上的数调换位置还是3的倍数； 还可能发现3的倍数的数个位上的数变小，十位上的数变大也还是3的倍数；或发现个位上的数少1，十位上的数多1，但是和不变，和分别是3、6、9、12、15……通过口算这些3的倍数各位上的数的和是有规律的：都是3的倍数。

注意突出学生的主体地位，由于大多学生数感不强，依据学生年龄特征和认知水平设计探索性的活动，观察100以内3的倍数的特点，先横着观察没有发现规律，再引导学生斜着观察，通过对比、类推发现各数位上的数的和正好是3的倍数，继而初步感知3的倍数的特征。]

师根据学生的汇报修改板书（将前面的板书个位上是3、6、9？擦掉，写上：各位上数字的和是3的倍数。）

（3）强化认识

师：如果一个数不是3的倍数，它各位上数字的和会是3的倍数吗？同座互相找几个怎样的数算一算，看看会不是3的倍数。（学生计算）

师：任意找几个三位数或四位数，用今天发现的结论判断一下是不是3的倍数，同座互相用除法算一算，看是不是符合上面的结论。

交流：你举的什么数，与这个结论相符吗？

师根据学生的回答完成板书（一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。）

[设计意图：学生通过不同角度的观察与验证，通过计算验证是3的倍数和不是3的倍数的任意数，让学生自己举例和验证生活中的任意数，有利于培养学生的数感和探究兴趣；通过计算，让学生在小组合作中进一步验证猜想，感知“一个数各位上的数的和是3的倍数”，这样围绕问题逐层深入展开探究活动，发现特征，得出结论，从而培养学生的探索意识和对比、验证、归纳、概括等能力。]

（4）运用知识

课件出示“做一做”。

师：下面数字卡片摆出的数哪些是3的倍数？你是怎样判断的？

学生活动：同座讨论互说，大组汇报。

师：在每个数后面增加一张卡片使这三个数成为3的倍数，怎么想？

学生活动：分组讨论、交流，大组汇报。

师根据学生汇报小结：原来是3的倍数的后面可以添加0、3、6、9。原来不是3的倍数的可以凑成和是3的倍数，如58和46后面分别可以添加2、5、8。

[设计意图：这一题的第一问学生很快就能运用本节课发现的3的倍数的特征解决，但是第二问学生可能回答不全面，有遗漏，但是通过大组汇报和教师的小结综合可以帮助学生将知识进行整理。这是一道发散题，一是要让学生掌握这种题的思考方法，二是培养学生的发散能力，通过数学交流，充分暴露学生的思维过程，教给学生思维的方法，提高学生全面分析问题的能力。]

三、多层练习

1.课件呈现题目，做练习三第3～5题

[设计意图：第3题要求学生把3的倍数圈出来，交流哪些是3的倍数，说说理由，主要为了巩固学生灵运用3的倍数的特征进行简单的判断的能力。第4题通过新旧知识的比较，让学生在不同判断方法的“思维碰撞”中加深对3的倍数的特征的理解。第5题，这是一道发散题，一是要让学生掌握这种题的思考方法，二是培养学生的发散能力。]

2.知识链接：你知道吗？

我们学习了2、5和3的倍数特征，10以内其他的数的倍数有什么特征呢？请边读边想。

①能被4整除的数的末两位也能被4整除；

②能被6整除的数的末位是偶数，且各个数位的数字之和是3的倍数；

③7的倍数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否是7的倍数的过程如下：13-3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否是7的倍档墓程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，以此类推；

④能被8整除的数的末3位也是8的倍数；

你明白了吗？请同学之间互相出题考一考吧！

四、总结延伸

1.课堂总结。通过这节课的学习，你有哪些收获？

2.拓展延伸。思考：9的倍数有什么特征呢？9的倍数特征是各个数位的数字之和是9的倍数。

五、设计思路

本课基于“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”的认识，让学生理解并掌握3的倍数特征，经历、体验数学活动的过程，积累数学活动经验，感悟数学思想方法，逐步形成自主探索知识和解决问题能力。

1.创设问题，激活经验

问题是数学的心脏，是数学课堂教学的良好开端。“3的倍数的特征”这一节课相对来说，内容比较枯燥，需要教师以问题为驱动激发学生的学习兴趣，让学生产生探究的欲望。课一开始，教师先让学生从已有的数中找出2的倍数、5的倍数，然后让学生回顾探究的思路，接着让学生猜想3的倍数的特征，从而使学生在各种各样的猜测中引发知识冲突，产生强烈的探究欲望，为后续的探究新知做好心理准备。

2.自主探究，建构特征

教师要帮助学生在自主探索与合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。因此，这节课教师要向学生提供充分从事数学活动的机会，让学生自主探索特征。比如在猜想环节，教师让学生观察自己说出各种猜想，在第一次猜想时，教师让学生用正例、反例进行验证；第二次猜想后，教师着重让学生从不同角度和方向进行观察、讨论，通过计算验证，从而才得出结论。学生实实在在经历了这一探究过程，真真切切地积累了数学活动的经验。

3.重视知识，关注方法

学数学不仅要理解知识，更重要的是要通过对数学知识的探索，掌握获得知识和运用知识的方法，并且理解这个过程中的思想方法。因此，本节课在第二次猜想前，教师让学生先回忆研究“2、5的倍数的特征的方法”，再思考讨论研究“3的倍数的特征”的方法，向学生渗透了迁移的学习方法；在探究的过程中也让学生体会到了观察、讨论、反思、猜测、否定、再猜想、验证、归纳总结等研究过程和方法；在学生交流的过程中让学生学会举反例进行验证的方法；培养了学生的探索意识和分析、概括、验证、判断等能力。

总之，本课依据学生的认知基础设计具有探索性的问题，引导学生紧紧围绕“3的倍数有什么特征”这个问题来开展学习活动，巧妙地把学生推上了学习的主体地位，使学生始终沉浸在一种浓厚的探索氛围之中，这样的数学学习活动，才是真正的、生动活泼的、富有个性的认知过程。