例析三角形的计算与探究问题

三角形是几何中最重要的知识，熟练掌握三角形的概念、性质、定理，领会三角形涉及的数学思想方法，是继续学习多边形的必要前提。下面给同学们介绍与三角形有关的计算与探究问题。

一、与三角形边有关的计算

例1 小红准备用一段长56米的篱笆围成一个三角形形状的菜地。已知第一条边长为ɑ米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多4米。

（1）请用ɑ表示第三条边长；

（2）请问第一条边长可以为12米吗？请说明理由；

（3）能否使得围成的菜地是等腰三角形？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由。

解析 （1）已知第一条边为ɑ，由题意得第二条边长为2ɑ+4，

第三条边长为56-ɑ-（2ɑ+4）=52-3ɑ。

（2）不可以是12。

理由：因为ɑ=12时，另两边长为：2ɑ+4=28，52-3ɑ=16，又因为12+16=28，不满足三角形三边之间的关系，所以不能构成三角形。

（3）能围成等腰三角形。

当ɑ=2ɑ+4时，不符合实际，不存在；

当ɑ=52-3ɑ时，解得ɑ=13，

三边为13、13、30，不满足三边之间的关系，故不存在；

当2ɑ+4=52-3ɑ时，解得ɑ=，

三边为、、，满足三边之间的关系，故存在。

二、与三角形内角有关的计算

例2 如图1，在ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PEAD交直线BC于点E。

（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；

（2）当点P在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明。

解析 （1）根据三角形的内角和定理：∠B=35°，∠ACB=85°，求得∠BAC=60°，再根据角平分线的定义求得∠DAC=30°，进而根据三角形的内角和定理求出∠ADC=65°，进一步求得∠E=25°；

（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系：

∠E=（∠ACB-∠B）或∠E=（∠B-∠ACB）。

三、 与三角形外角有关的计算

例3 如图，把ABC的纸片沿着DE折叠。

（1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置（如图2），且∠1=40°，∠2=24°，求∠A′的度数；

（2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图3），则∠A′与∠1、∠2有怎样的关系？请说明你的理由；

（3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图4），则∠A′与∠1、∠2又有怎样的关系？直接写出你的结论。

解析 如图2，（1）连接AA′，因为∠1=40°，∠2=24°，所以2∠A′=64°，∠A′=32°；

（2）如图3，连接AA′，因为∠1=∠A′AE+∠AA′E，∠2=∠A′AD+∠AA′D，所以∠2-∠1=2∠A′；

（3）如图4，连接AA′，则∠1-∠2=2∠A′。

四、与三角形内角有关的探究题

例4 （1）如图5，已知ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且BO、CO相交于点O，试探索∠BOC与∠A之间的数量关系，并说明理由。

（2）如图6，已知BO、CO分别是ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，BO、CO相交于O，试探索∠BOC与∠A之间的数量关系，并说明理由。

解析 （1）∠BOC=90°+∠A。理由如下：延长BO交AC于点D，

因为BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，所以∠A+2∠1+2∠2=180°，

∠BDC=∠A+∠1，∠BOC=∠BDC+∠2，

所以∠BOC=∠A+∠1+∠2=90°+∠A。

（2）∠BOC=90°-∠A。理由如下：

因为BO、CO分别是ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，所以∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，所以

2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，

又因为∠1+∠2+∠BOC=180°，所以2∠BOC=180°-∠A，

即∠BOC=90°-∠A。