从极限的概念谈定性向定量描述的数学转化思想

摘 要：极限是微积分中重要概念，也是研究函数各种性质的重要工具。本文从最简单的数列极限的定性定义入手，分析了此定义的缺点，进行分析，最终导出了极限的定量定义，解决了这一教学难点，进而将这种分析方法推广到函数的极限。

关键词：极限 定性定义 定量定义

中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）09（b）-0018-01

极限是微积分中要学习的第一个重要概念，同时也是一个非常难以理解的概念。同学们往往只接触过数列极限的定性定义，到了大学接触到的是极限的定量定义很不适应，也不理解。因此，本文先从定性定义出发，逐渐地导出极限的定量定义，使学生即能较容易的理解概念，又能让他们体会到数学中定量思想建立的整个过程，提高其数学素养。

1 数列极限的定性定义及缺点

下面写出数列极限的定性定义。

定义1：设为一数列，为常数，若当无限增大时，无限接近于，则称常数为数列的极限，同时称数列收敛于，记为，或，否则，称数列发散。

由此定义可看出，此概念的核心为“若当无限增大时，无限接近于”。但是，很明显，“无限增大”，“无限接近于”都是模糊不清的描述，只是对数列趋向方式的一种性质上的描述。

2 数列极限的定量定义的导出

有了上述分析，就提出了下一步工作的目标为：用定量的描述来解释“若当无限增大时，无限接近于”，即要给出数列极限的定量定义，这也是数学工作者要研究的一个重要方面。

我们先来看“无限接近于”。目的是用量化的数学语言（即等式或不等式之类的形式）去描述它。经过分析我们发现，这句话可以变成“与的距离无限的小”，即“无限的小”。而如何描述某个数“无限的小”呢？一般数学上这样来解决这个问题：任意给一个整数（一般说来可以任意小），。这样，对于“无限接近于”，我们总结出的量化的数学语言为：。

再来看“无限增大”。这句话的转化要难一些。即我们的目标是要将用数学语言来描述它。由教材上的实例分析我们发现有如下规律：

（1）当越来越小时，满足的越来越大。

（2）当任意的小时，任意的大，即。

（3）当取定某个数值时，的范围也就随之确定。

基于以上三点，我们将“无限增大”描述为“”。

这样，“若当无限增大时，无限接近于”这样的一句话我们就可以翻译成量化的数学语言了，即当时，有成立。

下面只需将定义1中的“若当无限增大时，无限接近于”改成上述描述（其它部分不变）就可以得到数列极限的定量定义如下：

定义2：设为一数列，为常数，若对任意的（不论多么小），总存在正整数，使得当时，恒成立，则称常数为数列的极限，同时称数列收敛于，记为，或，否则，称数列发散。

在此定义中，较难理解的一点是的出现。要注意理解要想得到量化的描述，仅对进行讨论分析是不够的，必须要构造。还需指出，若用极限定义证明极限，关键是找到相应的。

3 函数极限的定量定义的分析

有了上述对数列极限定量定义的导出，可以类似的讨论分析函数极限的定量定义。

先给出当时，的定性定义。

定义3：设函数在点的附近有定义，如果存在常数，当无限接近于时，无限接近于，则称常数为函数当时的极限，记为或（）。

显然，此定义中的“当无限接近于时，无限接近于”需要进行改进。

同前文进行类似讨论可得，“无限接近于”可写成“”。

对于“无限接近于”，通过分析我们发现有如下规律：

（1）当越来越小时，满足的越来越接近于，即只有在的某个小去心邻域（半径设为）内的才满足不等式；

（2）当任意的小时，“无限接近”于，即。

（3）当取定某个数值时，也就随之确定下来，即只要满足在去心邻域内，就可以使得小于给定的。

经过上述讨论，可以给出“无限接近于”的定量描述为：

“”。

综上所述，我们可以将定义3进行修改，得到量化定义如下：

定义4：设函数在点的附近有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论多么小），总存在正整数，使得当时，恒成立，则称常数为函数当时的极限，记为或（）。

4 结语

本文由数列、函数极限的定性定义出发，分析了定性定义的缺点，采用数学中常用的量化的思想，逐步分析，仔细论证，最后将上述定义转化成了教材中的精确定义，在教学中使用这种方法过渡，不但可以使学生更容易的接受极限的量化定义，更重要的是能够让学生体会了从定性到定量的转化方法，对于提高学生数学素养具有重要意义。

参考文献

[1] 谷银山，张玉芬.微积分学教程[M].北京：北京航空航天大学出版社，2011.

[2] 雷会荣.浅谈数学思想在极限教学中的渗透[J].教育探索，2011，246（12）：58-59.