注重一题多解,拓宽解题思路

要让学生学会从多角度观察、分析、使用题设条件，才能够打开解题思路，找到较简洁的解法。

题目1 已知函数f(x)=ɑx2+bx+c的图象过点（-1,0），是否存在常数ɑ、b、c，使不等式 x≤f(x)≤12

(1+x2) 对一切实数x都成立？

分析：这是一道探索性题目，要充分利用题目的条件，找出ɑ、b、c的关系，再利用不等式恒成立的条件

得出结论。本题从两个不同的角度观察、分析、使用题设条件，提供了两种不同的解法。

解法一：函数f(x)=ɑx2+bx+c的图象(抛物线)过点（-1,0），

ɑ-b+c=0 (1)

又 x≤f(x)≤ 12 (1+x2) 对一切实数x都成立，则令x=0，有0≤c≤ 12 ；

令x=1，有1≤ɑ+b+c≤1，

ɑ+b+c=1 (2)

由(1)(2)解出 b= 12 ，c= 12 -ɑ

0≤ 12 -ɑ≤ 12

0≤ɑ≤ 12

将b= 12 ，c= 12 -ɑ代入x≤f(x)≤ 12 (1+x2)，则得不等式组

2 ɑx2-x+1-2ɑ0

（1-2ɑ）x2-x+2ɑ0的解集为R.

当ɑ=0或12 时，上述不等式组不能对一切实数x都成立.

由Δ1 =1-8ɑ(1-2ɑ)0

Δ2 =1-8ɑ(1-2ɑ)0得(4ɑ-1)2≤0

ɑ= 14，c=14 .

综上可知，存在ɑ=c= 14，b= 12，使不等式

x≤f(x)≤12 (1+x2)

对一切实数x都成立。

解法二：x≤f(x)≤ 12(1+x2) 对一切实数x都成立

f(x)的图象必夹在g(x)=x与h(x)=12 (1+x2)的图象之间.

如图所示，易知g(x)与h(x)的图象相切于点P(1,1)，因此f(x)与h(x)的图象也必相切于点P(1,1)，从而

有方程组

y=f(x)

y=x

仅有一组解 x=1

y=1

也就是一元二次方程f(x)-x=0有两个相等的根x1=x2=1，所以有f(x)-x=ɑ(x-1)2

即 f(x)= ɑ(x-1)2+x

又f(-1)=0 ɑ= 14

从而有 f(x)= 14x2+ 12x+14

综上可知，存在ɑ=c= 14，b= 12，使不等式x≤f(x)≤ 14(1+x2)

对一切实数x都成立。

练习1 已知函数f(x)=ɑx2+bx+c，(ɑ、b、c∈Z)同时满足：(1)方程f(x)=0在(-2,0)内有两个不同的

实数根；(2)对于任意实数x∈R恒有不等式4x+2≤f(x)≤8x2+12x+4成立。求ɑ,b,c的值。

(答案ɑ=4,b=8,c=3)

题目2 已知函数 y=，2-sinx2-cosx求它的最大值和最小值。

分析：本题是关于三角函数的分式函数问题，一般有两种观察方法，一种是将函数式转化为形如方

程式ɑsinx+bcosx=c，根据不等式｜c｜ ɑ2+b2解出y 的取值范围（仅适用自变量x无限制范围的情况）

; 另一种是把函数式看作平面内动点P(cosx,sinx)与定点ɑ(2,2)所在直线的斜率KAP.

解法一：由y=2-sinx2-cosx 得：sinx+ycosx=2-2y

即 sin(x+θ)= 2-2y1+y2. 故应2-2y1+y2 ≤1

解得4-73≤y≤ 4+73

ymɑx= 4+73；

ymin=4-73

解法二：令A(2,2)、P(cosx,sinx)，则y=KAP. 如图二所示，因为点P是单位圆上动点，只须求共点直线

系AP: y=k(x-2)+2的斜率的最值，显然，最值在直线和单位圆相切

时取得，由 ｜2-2k｜ 1+k2=1，

得k1=4-73，k2=4+73

ymɑx=4+73 ；ymin= 4-73

如果改函数y=2-sinx2-cosx 的定义域为x∈［0,π］，由图三易知

ymɑx=2；ymin= 4-73

练习2 求函数 y=2-cosxsinx (0

（答案：ymin= 3）

题目3 设ɑ>0，解关于x的不等式 2ɑx-ɑ2>1-x.

分析：本题是关于解含有参数的根式不等式的问题，一般先转化为有理式不等式组，然后再对参数分

类讨论求解。有时把这样的不等式转化为一个确定的函数与一个函数系，观察它们的图象之间的关系，

就可以直观的解题。

解法一 ：原不等式同解于

1-x-0

2ɑx-ɑ20

2ɑx-ɑ2＞（1-x）2或 1-x＞0

2ɑx-ɑ20

即(Ⅰ) x1

x2-(2ɑ+2)x+ɑ2+1＜0或（Ⅱ） x＞1

xɑ2

(1) 当0

原不等式的解集为{x│x>ɑ+1- 2ɑ}.

(2) 当ɑ>2时，解(Ⅰ)得x∈φ，解（Ⅱ）得 xɑ2

原不等式的解集为{x│ xɑ2 }.

解法二：令函数系y=2ɑx-ɑ2 ( xɑ2 )

和函数y=1-x，在同一个坐标系下作出它们的图象（图四）和（图五）。容易看出：

（1）当0< ɑ2 ≤1时，即0

令 2ɑx-ɑ2 =1-x解得x0= ɑ+1- 2ɑ ，

原不等式的解集为

{x│x>ɑ+1- 2ɑ}.

(2) 当 ɑ2 >1时，即ɑ>2由图五知

原不等式的解集为{x│xɑ2 }.

练习3 设ɑ>0，解关于x的不等式 ɑ2-x2

(答案：{x│0