引入风险承受能力系数的半方差模型

摘要：在实际投资过程中，投资者始终无法避免风险的存在。文章利用马克维茨的投资组合模型，以半方差测度为基础，引入个人风险承受能力系数，建立了加权投资决策模型，并以实例进行说明其引入的必要性。

关键词：半方差；风险承受能力系数；投资组合

一、前言

马克维茨的资产组合理论中有很多假设，基本上可以归结两类：一是对投资者的假设；二是对是关于资本市场的假设。其中对投资者的假设有三条：

第一，投资者在投资决策中只关注投资收益这个随机变量的两个数字特征：投资者的期望收益和方差。期望收益率反映了投资者对未来收益水平的衡量，而受益的方差则放映了投资者对风险的估计。

第二，投资者是理性的，也是风险厌恶的。即在任意给定的风险程度下，投资者愿意选择期望收益高的有价证券；或者在期望收益一定时，投资者愿意选择风险程度较低的有价证券。

第三，投资者的目标是使其期望效用E（U）＝f（E（r），σ2）最大化，其中E（r）和σ2分别为投资的期望收益和方差。对于一个厌恶风险的投资者来说，其期望效用函数E（U）是单调度函数。

在这种假设下马克维茨以风险资产的期望收益的方差作为风险资产的风险度量，对于一个风险投资组合，设有n种证券，用xi表示收益随机变量，向量表示形式为x=（x1，x2，…，xn）′，ω=（ω1，ω2，…，ωn）′表示证券投资组合权重，且ωi=1，则证券组合的投资收益和投资风险为：

E（ω′x）=ω′E（x），σ2＝E（ω′x-E（ω′x））（ω′x-E（ω′x））′=ωiσijωj，其中σij＝E（xi-E（xi））（xj-E（xj））。最终建立了最小方差投资组合模型，成为现资组合分析的基础。

马克维茨的投资组合模型在证券投资风险分析中是一个重要的方法，但是在实际风险投资当中马克维茨模型又存在着不足之处。为了解决不足之处，前人引入了绝对离差模型及半方差模型等，并且得出半方差模型优于其他模型的结论。但是证券投资风险来源于期望收益率的减小，只有当实际收益率x小于期望收益率E（x）时才会产生风险，而实际收益率x大于期望收益率E（x）则不会产生风险。

在实际投资过程中，投资者虽然厌恶风险，但也不是绝对不允许风险的存在，所以就存在风险承受能力这概念。本文以半方差测度为基础，引入风险承受能力系数，建立了加权投资决策模型。

二、概念与定义

我们假设4投资者的风险承受能力是不同的。即在给定风险投资的风险程度相同的情况下，相对风险资本投资多的投资者比相对风险资本投资少的投资者的风险承受能力弱。

由假设4，我们在这里引入一个定义：

定义1：设投资者的风险资本投资为s总资本为t，令q=cos称q为投资者的风险承受能力系数。

从定义可以看出表示风险资本占总资本的比例，则有0≤≤1。又由q=cos在0≤≤上单调递减且0≤q≤1，即随着风险资本的增加q是单调递减的。又因cos′＝-sin在0≤≤1随着的增加是负方向递增，实质反映了q在0≤≤1上随着的递增q值的递减速度加快。因为在现实中随着风险投资的增加投资者的风险承受能力下降的也是越来越快，所以定义是和现实符合的。现假设甲的风险承受能力系数为q1，乙的为q2且q1≥q2，那么可以得出甲的潜在资本损失比例小于乙的潜在资本损失比例，那么甲的风险承受能力就大于乙。

定义2设x是一随机变量E（x）为x的期望，E-（x）=min（x-E（x），0）令

E+（x）=max（x-E（x），0），称

D-=E（E-（x））2

D+＝E（E+（x））2

分别为随机变量的下半方差和上半方差。

投资者在投资风险证券时，通常根据自己的实际风险承受能力，去掉一些超出自己实际风险承受能力的证券。从而选择出一组证券，使得满足风险小，收益大，又没有超出自己风险承受能力的范围。所以提出了下面的投资组合模型

（1-q）ω′D-ω

st ω′x≥E（x）ω′I＝1I=（1，1，…，1）′0≤ωi≤1（i=1，2，…，n）模型一

由此模型建立了下面最优风险目标函数

F（ω）＝（1-q）ω′D-ω①

①式也可以写成

f（ω）=（1-q）ωiσ-ijωj②

其中σ-ij＝E（E-（xi）E-（xj）），ωi为投资第i种证券的权重（i=1，2，…，n）。

若有两位投资者甲的最优风险目标函数值为F1（ω）风险承受能力系数为q1，乙的最优风险目标函数值为F2（ω）风险承受能力系数为q2且F1（ω）=F2（ω）和q1≥q2，那么由模型可得ω′D-1ω≥ω′D2-ω，ω′D1-ω和ω′D2-ω分别表示甲和乙的下半方差。由于下半方差和上半方差都表示的是随机变量偏离均值的大小。故由ω′D-1ω≥ω′D2-ω可知ω′D+1ω≥ω′D2+ω。这实质说明风险承受能力强的投资者在可能风险较大的情况下，同时也有可能获得较大收益。这也就反映出来人们常说的风险越大收益越大。

建立最优风险投资决策模型为

F（ω）＝（1-q）ω′D-ω

st ω′x≥E（x）ω′I＝1I=（1，1，…，1）′0≤ωi≤1（i=1，2，…，n）模型二

其中q是投资者的风险承受能力系数，E（x）为投资者的预期收益值。

定理1组合投资模型二的最优解是模型二的有效解。

证明：令D1-＝（1-q）D-

设：模型二的最优解为不是模型二的有效解则存在ω＾使得

ω＾′D1-ω＾≤′D1-与是最优解矛盾

三、模型二解的matlab实现过程

在不失一般性的前提下，为了编程简单设有两项有价证券资产，得到数据如下：

q=0.8，D-＝0.400 0.2，x＝0.050.15，E（x）＝0.07，I=11

把数据带入模型二，并化成matlab中要求的标准型[0]得到

H＝0.16000.8，f=00，A=（-0.05-0.15），Aeq=（11），b=-0.07，beq=1，lb=00，ub=11.

用matlab编程运行，程序代码和运行结果如下：

程序代码：

H=[0.160；00.8]；

f=[0；0]；

A=[-0.05-0.15]；

b=[-0.07]；

Aeq=[11]；

beq=[1]；

lb=[0；0]；

ub=[1；1]；

[x，fval，exitflag]=quadprog（H，f，A，b，Aeq，beq，lb，ub）

结果：

x=

0.8000

0.2000

fval=0.0672

exitflag=1

即ω1＝0.8，ω2＝0.2表明第一种证券投资占，第二种证券投资占且风险最小，风险值为0.0672，而且收益期望不小。exitflag=1表明模型的计算过程是收敛的。

四、结论

在实际投资过程中，投资者虽然厌恶风险，但也不是绝对不允许风险的存在。所以就存在风险承受能力这概念。本文以半方差测度为基础，引入风险承受能力系数，建立了加权投资决策模型模型，通过例证可以看出引入风险承受能力系数是必要的且是可行的。

参考文献：

1、林清泉.金融工程[M].中国人民大学出版社,2004.

2、张喜彬,荣喜民,张世英.有关风险测度及组合证券投资模型研究[J].系统工程理论与实践,2000(9).

3、李华,李兴斯.证券投资组合中的熵优化模型研究[J].大连理工大学学报,2005(1).

4、杨继平.风险型决策的熵理论及其应用研究[D].北京航空航天大学,2001.

5、梁四安,李琼.证券组合Shortfall风险度量方法研究[J].上海经济研究,2005(9).

（作者单位：西安建筑科技大学理学院）